完全正規直交系について

質問

ヒルベルト空間L^2(-π,π)において、｛1/√2π,1/√π・sin nt,1/√π・cos nt}は完全正規直行系をなす。
任意のL^2(-π,π)に属する任意の関数はx(t)は、
x(t)=1/2・α0+Σ(n=1,∞)(αn cos nt +βn sin nt)
(αk=1/π・∫(-π,π) x(t) cos kt dt , βk=1/π・∫(0,2π) x(t) sin kt dt )
と展開できる。

1行目の証明、4行目の展開がわかりません。お願いします。

回答No.1

noname#204254

基本的なことなのでどの教科書に載っていますがなにがわからないのでしょう？

1行目はパーセバルの等式を使います。
4行目は厳密性を欠きますが言い換えをしているだけです。
ただ、βkの積分範囲はその書き方で間違いではないが直した方がいいです。