n次多項式の時の微分演算子法

質問

(D-2)(D^2+1)y=e^2x　などの場合の特解は求められるのですが
(D-2)(D^2+1)y=x^m+x^m-1+....　の場合の特解の求め方がよくわかりません

簡単のためにm=1とすると(つまり(D-2)(D^2+1)y=x)
D^2x=0より
(1-D/a)(1+Σ(D/a)m)x = (1-(D/a)^m+1)x = x ただしΣは1～mまでで今m=1より
1/(1-D/a) = 1+ D/aであることは理解できました。

さて、y=x/(D-2)(D^2+1)なので
1/(D-2) = -1/{2(1-D/2)}=-(1+D/2)/2となることは理解できるのですが、
1/(D^2+1)をどのように扱ってよいのかわかりません。
教科書の解説をみるに、ないものとして（つまり1として）計算してやればいいような感じを受けるのですが、その理由がわかりません。

m=1でない時の計算もわからないので、その時のやり方も僕が想像つくような説明をしていただけると大変うれしいです。

どなたかご教授お願いいたします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

k > m とすると D^k x^m = 0 です.
でもって 1/(1-α) = Σα^k であることを使うと
[1/(1-D)]x^m = (Σ D^k) x^m ですが, 右辺の和において k > m のところは D^k x^m = 0 となるので k は 0 から m まで考えれば十分です.
1/(D^2+1) も同じように考えると [1/(1+D^2)] x = (Σ (-D^2)^k) x なんですが, k ≧ 1 では D^(2k) x = 0 となってしまうので結果的に 1 と同じことになります.

お礼

ありがとうございました。
つまり地道に割り算をして、D^kx^m=0を利用しているということですね？

また何かあればよろしくお願いいたします。