常微分方程式（演算子法）

質問

ｙ´´＋２ｙ´ー３ｙ＝e^2x
の演算子法での解き方が解りません。
（D^2＋2D-3)=e^2x
(D-１)(D+3)y=e^2x
の続きが解りません

解き方の道筋だけでもいいのでどなたか教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

guuman · ベストアンサー

(D-a)=exp(a・x)・D・exp(-a・x)
の意味は正確には
(D-a)・f(x)=exp(a・x)・D・exp(-a・x)・f(x)
の意味
(D-1)=exp(x)・D・exp(-x)=exp(x)・-exp(-x)=-1
(D+3)=exp(-3x)・D・exp(3x)=exp(-3x)・3exp(3x)=3
のような無茶やっちゃいかん
演算子として関数に作用するときに意味があるのだ
基本が皆無のようなので出血大サービスをするしかないな

(D-1)・(D+3)・y=exp(2・x)
に前の演算子の等価式を代入すると
exp(x)・D・exp(-x)・exp(-3・x)・D・exp(3・x)・y=exp(2・x)
よって
D・exp(-4・x)・D・exp(3・x)・y=exp(x)
よって
exp(-4・x)・D・exp(3・x)・y=exp(x)+C1
よって
D・exp(3・x)・y=exp(5・x)+C1・exp(4・x)
よって
exp(3・x)・y=exp(5・x)/5+C1・exp(4・x)/4+C2
よって
y=exp(2・x)/5+C1・exp(x)/4+C2・exp(-3・x)
任意変数を付け替えて
y=exp(2・x)/5+C1・exp(x)+C2・exp(-3・x)
最後に元の式に代入して確認する
確認いてその様子を補足にかけ

なお
(D-a)=exp(a・x)・D・exp(-a・x)
の証明をしておく
D・exp(-a・x)・f(x)=(exp(-a・x))'・f(x)+exp(-a・x)・f'(x)
すなわち
D・exp(-a・x)・f(x)=-a・exp(-a・x)・f(x)+exp(-a・x)・D・f(x)
すなわち
D・exp(-a・x)・f(x)=exp(-a・x)・(D-a)・f(x)
すなわち
exp(a・x)・D・exp(-a・x)・f(x)=(D-a)・f(x)
すなわち
(D-a)・f(x)=exp(a・x)・D・exp(-a・x)・f(x)

ここでf(x)をとって見やすくしたのだが
(D-a)=exp(a・x)・D・exp(-a・x)
あくまでも両辺とも関数に作用させる演算子である
普通の関数として扱うような馬鹿なことをしてはいけない

回答No.1

guuman

(D-a)=exp(a・x)・D・exp(-a・x)
を使う
これをつかって式を整理しそれを解いて補足に書け

補足

(D-1)=exp(x)・D・exp(-x)=exp(x)・-exp(-x)=-1
(D+3)=exp(-3x)・D・exp(3x)=exp(-3x)・3exp(3x)=3

(D-１)(D+3)y=-3y=exp(2x)
∴ｙ=-exp(2x)/3
でいいのでしょうか
よく解りません