定数変化法を用いて解く微分方程式について

質問

y''' - 3y'' + 4y' = 0
という微分方程式の一般解を求めよという問題なのですが、
まずy=e^λxとおいてこの式に代入して
λ^3 - 3λ^2 + 4 = 0
⇔(λ+1)(λ-2)^2 = 0
よって特解はλ=-1、λ=2からy=e^(-x),y=e^2x
このあと、なのですが参考書では定数変化法を用いてy=a(x)e^2xを代入して求めるとあるのですが、
そこでそうせず、一般解が
y = C1e^(-x) + Ne^2xになると考えて
Nを定数変化法を用いてN = C2x + C3
であるので一般解は
y = C1e^(-x) + (C2x + C3)^2x
C1,C2は任意定数
となるという考え方であってるのでしょうか？はたまたこの式だからこういう考え方ができるというだけのでしょうか？

回答No.2

aqfeplus

No1です。ひとつひとつ計算していきましょう。
y=a(x)*e^(2x)
とすると、
y'=(a' +2a)*e^(2x)
y''=(a'' + 4a' +4a)*e^(2x)
y'''=(a''' + 6a'' + 12a' +8a)*e^(2x)
となります。

ついでだからその先まで書きますと、、、
上の式をy''' - 3y'' + 4y = 0に代入して、
a'''+3a''=0
この微分方程式を解いて、
a''=(C4)e^(-3x)
a'=(-1/3)*(C4)e^(-3x) + (C5)
a=(1/9)*(C4)e^(-3x) + (C5)*x + (C6)
となる。
よって、y''' - 3y'' + 4y = 0の一般解は、
y=(C1)*e^(-x) + { (1/9)*(C4)e^(-3x) + (C5)*x + (C6)}*e^(2x)
={(C1) + (1/9)*(C4)}*e^(-x) + {(C5)*x + (C6)}*e^(2x)
= A*e^(-x) + (B*x + C)*e^(2x)　（←係数を改めて設定）
となります。

実のところ、テストで厳密に解答するとき以外は、特性方程式に２重根が出てきたら即、
「(B*x + C)*e^(2x)も解となる」
としていいですよ。

回答No.1

aqfeplus

まず、
y''' - 3y'' + 4y = 0
ですね。

質問者さんの考え方であってます。
ただ、C1e^(-x)は微分方程式の解となっているので、
y = C1e^(-x) + Ne^2x
を微分方程式に代入しても、第一項は計算するまでもなく、
(C1e^(-x))'''-3(C1e^(-x))''+4(C1e^(-x))=0
となり、消えます。
そのため通常は、y=a(x)e^2xを代入して求めるのです。

補足

y'''ってことはa(x)e^2xを三回微分しなきゃならないので
そうすると計算がむずかしい・・・・・そこでやってみたのですがどこか計算ミスでもあったかとおもって。
a(x)e^2xを三回微分するとどうなるのでしょうか？