二次関数

質問

a,bを正の実数とする
x,yがax+y＝6を満たすとき
xy+2x+bはx＝(1)で最大値(2)をとる

(1)＜3となるような
aの値の範囲は(3)＜a

さらに,a,bがそれぞれ
a＞(3),b＞3の範囲にあるとき
つねに(2)＜pが成り立つ
最小の整数pは(4)である

誰かお願いします!

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ａｘ＋ｙ＝６　より　ｙ＝６－ａｘ　なのでこれを　ｘｙ＋２ｘ＋ｂに代入して
ｘ（６－ａｘ）＋２ｘ＋ｂ＝－ａｘ＾２＋８ｘ＋ｂ
　　　　　　　　　　　　＝－ａ（ｘ－４／ａ）＾２＋ｂ＋１６／ａ

とすれば（１）と（２）が判ります。（１）が判れば（３）は単に不等式を解くだけですね。

ｂ＞３という範囲で（２）、つまりｂ＋１６／ａの上限は決まるかな？

お礼

ありがとうございます(*´Д｀*)/

回答No.3

yyssaa

y=6-axよりxy+2x+b=x(6-ax)+2x+b
=-ax^2+8x+b=-a(x^2-8x/a)+b
=-a(x-4/a)^2+b+a*16/a^2
=-a(x-4/a)^2+b+16/aとなるので、
-a(x-4/a)^2≦0ですから、x-4/a=0
すなわちx=4/aのときにyは最大値
y=b+16/aとなります。
答えは(1)=4/a、(2)=b+16/aです。

(1)=4/a＜3であれば4/3＜a
答えは(3)=4/3です。

a＞4/3 b＞3の範囲にあるとき、
(2)=b+16/aの範囲を考えます。
まずa＞4/3から1/a＜3/4
したがって16/a＜16*3/4=12
0＜16/a＜12
3＜b
より3＜b+16/aとなり、b+16/aに上限は
ないので、b+16/a＜pが成り立つpは
存在しません。
ただし、b+16/aがとり得る最小の整数
を求めるなら、それは４になります。

お礼

ありがとうございます(*´Д｀*)/

回答No.2

info22_

ax+y＝6…(A)より
　y=6-ax　…(B)
(B)より
　xy+2x+b=x(6-ax)+2x+b=-ax^2 +8x+b=f(x)と置く。

f(x)=-a{x-(4/a)}^2 +b+(16/a)
a>0よりf(x)はx=4/aの時最大値f(4/a)=b+(16/a)をとるから

　(1)=4/a
(2)=b+(16/a)

(1)=4/a＜3　より
　a>0より aの値の範囲 a＞4/3

　(3)=4/3

a＞(3)=4/3,b＞3の範囲にあるとき

　(2)=b+(16/a)＞b

bはb＞3でどれだけでも大きな値を取りうるので
つねに(2)＜pが成り立つような
最小の整数pは存在しない。

　(4)存在しない
最小の正数pの条件について問題に間違いがないかチェックしてみてください。

お礼

ありがとうございます(*´Д｀*)/