aの０乗＝１とその物理的な意味

質問

初歩的な質問で恐縮ですが教えて頂ければと思います。階乗の四則演算の定義でaの0乗は1とされています。これ自体は階乗の計算上このように決めると上手く行くので良いのですが、例えば、aの3乗は一辺がaの立方体の体積を表し、aの2乗は一辺がaの正方形の面積、そしてaの1乗は線で長さがaを体現しています（物理的な意味のようなものでしょうか）。こう見ると、乗数は次元を表現しているようです。3乗は3次元、2乗は2次元、そして1乗は1次元と。ここで、aの0乗は1と決められていますが、aの0乗=1とは一体、物理的には何を表すのでしょうか？次元の流れでは3->2->1->と来ましたから0次元、点ではないのかなと考えます。

数学は長い歴史で試行錯誤の過程を経てきたことは理解しているつもりですが、数学的な処理を物理的に解釈するのは現代物理でよく行われていることです。このaの0乗=1がどうも腑に落ちず喉元に引っかかった感じです。

どなたか見識のある方、教えて頂けると幸いです。

以上、宜しくお願い致します。

回答No.3

connykelly

>1)及び2)の両方を考えその関係からどのような考え方が世の中にあるのだろうか？

aの0乗というのはa÷a=1ということですから、これは自然単位というかすべての数字の基本構成単位ということだと思います。物理では数式の展開途上で分母分子に運動量pが現れた場合、例えばαp/βpの場合結果的にはp^0(α/β)となり、運動量pは系に何の影響も及ぼさないということになります。つまり次元量が単位無次元量になるというか。。。どうも的外れな意見かもしれません。

回答No.2

noname#101087

a^0 = 1 で連想するのは比xx率など。

[引用例 : from Wikipedia]
媒質の誘電率と真空の誘電率の比 ε/ε0 = εr を比誘電率と呼ぶ。比誘電率は無次元量であり、用いる単位系によらず、一定の値をとる。
　　ε0 / ε0 = (ε0)^0 = 1

長さ a なら？
>aの3乗は一辺がaの立方体の体積を表し、aの2乗は一辺がaの正方形の面積、そしてaの1乗は線で長さがaを体現しています....
　　a/a = a^0 = 1
は「比長」？

お礼

お忙しい中、回答いただき有難うございます。例として、真空の誘電率ε０を挙げていただいたのですが…ε０の０は下付き文字です。誘電率は媒体の種類に応じて変化しますが０が下付きとなっているのは媒体が存在しない神君環境でという意味です。それに対して階乗の０は上付き文字です。これら両者には関係が見受けられませんが…。

いずれにしてもレスを頂いたことには感謝致します。

以上

補足

下記で、”神君”＝＞”真空”でした。失礼致しました。

回答No.1

taka517

表現しにくいのですが、その世界を表す単位１個では？
１乗を長さaの線だというのならば、そのaとは何のa倍なのかを言っておくことが必要になります。
例えば、acmの線ならば、基準の1cmがあって初めてacmが作れます。
よってaの０乗はその世界の基本単位をあらわす１になります。

感覚としては
０乗で「この定規を元に世界を作っていきましょう」
１乗で「この定規をa倍に引っ張ってみましょう。線が出来ましたね」
２乗で「さらに定規a倍ぶんだけ直角に引っ張ってみましょう。正方形ですね」
３乗で「さらに今の２つの方向のどちらからも直角になるようにa倍ぶんだけ引っ張ってみましょう。立方体ですねー」
・・みたいな感覚です。

伝わるかなぁ・・。

お礼

ご回答有難うございます。質問が良くなく意図がズレて解釈されてしまったようです。私は数学的な処理の決まりごとと物理的な解釈の関係に付き意見を求めました。

aの0乗=1が、aの1乗/aの-1乗あるいはa/a=1、あるいはaの0乗xaの100乗=aの(100+0)乗=aの100乗=1xaの100乗なので最左辺と最右辺を比較しaの0乗=1、の2つの定義が本には掲載されています。a≠0を除けば（a=0ならa/aと定義付けは出来ません。0で割るのは数学では禁じられています。長さ0の線や辺が0の面積・体積を論じることが適切かどうかは不明ですが）階乗計算を処理するための決まりごとです（私の疑問はこれではありません）。

次元と乗数は関係があります。aの3乗は立方体、aの2乗は正方形、aの1乗は線。さらに考えると、線は本来は長さのみで幅が無い存在（なので一次元）ですが何かのきっかけで幅を持った瞬間に二次元になります。その二次元は本来は高さを持たない存在ですが何かのきっかけで高さを持った瞬間に三次元になります。乗数が1=>2=>3となるのに対応しています。

ここで一次元、aの１乗に目を向けると長さしか持たない線が何かのきっかけで長さを失い位置のみの存在になると点です。乗数の方は次元が一つ減少して0次元という存在を想像してみた訳です。

今回の話題の考え方には、1)aの0乗=1という決まりごとからそれがどんなものかを考える、2)物理的な存在からaの0乗=1に相当するものは何だろうと考える、の2つがあると思います。

ご回答頂いた視点は1)だと思います。私も単位長さや線比という概念は考えてみましたが、空間を表すaはその量を測るときには単位を付けなければいけませんが、存在を論ずるだけなら長さは必要ないのではと思いました（a自体をモノサシにしてa、axa、axaxaと作成していけば良いのでは）。また、線比という概念は別の回答にも述べたようにε0の0は乗数ではなく真空の条件を示す下付き文字ですので話題からはズレていると思います。

私の質問は、1)及び2)の両方を考えその関係からどのような考え方が世の中にあるのだろうか？というものです。改めてこの視点からどのようにお考えになるのかを教えて頂けると嬉しいです。

以上