４次元の超立体の検証

質問

よろしくお願いします。

４次元空間における、超立体についてよく知りたいのですが、捉え方がまだよくわかりません。
私の読んだ某雑誌では、

０次元の点は端がないので→0
１次元の線は、端が２つあるので→2
２次元の正方形は、端（辺）が４つあるので→4
３次元の立方体は、端（面）が６つあるので→6

ここから推測すると、
４次元の超立方体は、８つの端（立方体）を持つ形。→8

であろう、という推測が書いてありました。
「端」の概念はその形を切った時の断面がどのようなものかを考える、という概念でもありますから、次元というものの定義から、私にもわかる基準の選び方です。
ただ、このあと、
「３次元までは増え方が等差数列である」と言ってるだけであって、一般化するには不安が残るようにも感じます。
もし8じゃなかったら、どうするの？と思ってしまいます。
本当に超立方体がそのような８つの立方体で囲まれたものであるとして、現実にそれを検証する方法はあるでしょうか？

回答No.5

tomtom_

小学生でも分かる方法として，オイラーの多面体定理で確認する方法があります．
3次元なら，穴が開いていない任意の多面体（＝立方体だろうが単体（三次元なら三角錐）だろうが何でも良いです）に対し，

頂点の数-辺の数＋面の数=2

になります．
これを質問者さんの計算なさった5次元にあてはめると，

32-80+80-40+10=2

となって，正しいことが分かります．

元々の御質問の，4次元の場合に頂点の数が8個であっているのか？というのも同様に，4次元超立方体なら

頂点の数-辺の数+面の数-体積の数=0

が成り立てば良いのですが，実際に

16-32+24-8=0

となり，

> ４次元の超立方体は、８つの端（立方体）を持つ形。→8

というのも正しいことが分かります．

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
あまり賢くないもので、理解に時間がかかってしまい、申し訳なく思います。

オイラーの多面体定理を使うと、なぜ３次元で多面体が５つしかないのか？というのが、ようやく導くことができました。

それはそれで良かったのですが、オイラーの多面体定理は、そもそもどのように導き出されたものなのでしょうか？
なぜ次元数が増えていっても成り立つと証明できるのですか？

ウィキで調べると、他にも変化形の定理が存在するようですし、でも、どこからそんな結論に至るのか、自分で導くことはできませんでした。

入り口だけでも教えて頂けると助かります。

回答No.4

Tacosan

それで OK です.
n次元空間は「n個の要素からなる (実) ベクトルの集合」であり, その中で「特定の連立 (不) 等式を満たすベクトルの集合」が空間内の図形を表します.
n次元立方体は
{ (x1, ..., xn) | |xi| ≦ 1 }
で定義することが多いと思います. これだと重心が原点にあって, 1辺の長さは 2 ですね.
で, その「端」は「いくつかの不等式を等式に変えたもの」で定義します. 立方体の場合, xi = 1 と xi = -1 は両立しませんから, 空でない「端」を定義するためには「xi = 1 と xi = -1 の高々一方のみ」を使うことになります.
で, 例えば頂点は全ての xi に対し xi = 1 か xi=-1 という等式を与えると得られ, その個数は 5次元だと 32個です. 辺では 1個の xi を除いて等式を与えるので, xi の選び方 (5通り) と「その他の xi に 1 と -1 のどちらを与えるか」(2^4 = 16通り) を決めて 80本となります. 面は 2個の xi の選び方 (10通り) × その他の xi に対する ±1 の与え方 (2^3 = 8通り) = 80通り.
他の次元の「端」も同様です.

補足

すみません、まだ理解に至ることができません。

＞n次元空間は「n個の要素からなる (実) ベクトルの集合」であり, その中で「特定の連立 (不) 等式を満たすベクトルの集合」が空間内の図形を表します.
n次元立方体は
{ (x1, ..., xn) | |xi| ≦ 1 }
で定義することが多いと思います. これだと重心が原点にあって, 1辺の長さは 2 ですね.
で, その「端」は「いくつかの不等式を等式に変えたもの」で定義します.

までは理解できました。

＞立方体の場合, xi = 1 と xi = -1 は両立しませんから

というのは、「並行する面は交わらないから」という理解の仕方であっていますか？
xiという記号の意味するところがまだよくわかりません…
もう少しだけ解説を頂けますと助かります…
申し訳ありません。

回答No.3

Tacosan

その通りであってます... けど... 「推測」って何だ. ちゃんとした本を読めば (ってそんなにないんだけど) きちんと書いてあるのに. 「4次元空間における超立方体」と「その端」を数学的に定義すれば一目瞭然です.
3次元でいう「正多面体」に対応するものは 4次元では 6種類ありますが, 5次元以上になると 3種類しか存在しないことも知られています.

お礼

すみません、正多面体についてはまだよくわかりませんが、とりあえずｎ次元における超立方体の頂点、辺、面、立方体…の数を導く方法に自力で辿り着きました。
頂点は、単純に倍々で増えていき、辺や面については、一つ手前の次元での数を２倍したあとに、それぞれの頂点、辺の数を足してやれば良いようです。
なんというか、移動する前と後の図形は同じなので２倍して、あとは移動中の軌跡について考えるというやり方です。
自分で計算した結果、本に記載されている数値と一致したので、安心しました。
とりあえず、導き方は納得できたのですが、同じ方法で５次元の超超立方体について調べてみると、
頂点、　　32
辺　　　　80
面　　　　80
立方体　　40
超立方体　10

からできている図形という結論に達しました。
辺と面の数が等しく80という数になっているのですが、本当に合っているのか不安です。

そもそも３次元を超えている時点で、体感的に合ってるか間違ってるかは語れません。定義の仕方で数の振る舞いも変わるでしょうし、この４次元やｎ次元の捉え方が現実世界と整合性があるのか、私にはわかりません。

どのように検証すれば良いのでしょうか？というか可能でしょうか？

回答No.2

big-three

追記
三次元にも時間がありますが、一定方向にしかありません。

お礼

時間も座標に描くことは可能です。
つまり、空間的に捉えることはある程度可能なんじゃないでしょうか？
そこに幾何学的な性質は現れると思います。
ただ、空間と同じ単位を使って捉えられるものなのかは、私はわかりません。
だから、今回は純粋に空間の余剰次元として考えています。

時間の矢は未来に向かって一方通行のようですが、物理学的には逆を向いていても問題ないという現象が見られます。
ただ、ＣＰ対象性の破れとか、難しいことはわからないですけど…。
最新の科学ニュースでも決定打はないようですね。

回答No.1

big-three

１次元：線・点の世界
２次元：正方形・紙に書いた絵の世界
３次元：立方体・現世界(人間が暮らしている世界)
４次元：時間が入ってきます。過去・現在・未来の時間が交錯した世界です。なので３次元世界において人間の目で見ることは(おそらく)できません。常に形が変わっていてとらえることが出来ないのではないでしょうか？同じ物質の固体・液体・気体でも、測る時間によって質量と大きさが変わるとか？とらえられないものの世界では？

お礼

ご回答ありがとうございます。

私の質問は、空間としての４つ目の次元を考えた場合のことでして、この場合時間は関係ありません。

確かに物理学では、３次元に時間を加えて時空と考えるようですが、今回は物理ではなく、数学の幾何学の問題として、３次元から一つの空間次元を増やした場合、何が起きるのか検証する方法についてお尋ねしております。

説明不足で申し訳ありません。