４次元版 正四面体 の展開図

質問

教えてください。
小５のこどもが、「４次元って 立体＋時間なんでしょ？」なんて 生意気なことを聞いてきたので、「時間って決まってないんじゃないかな？」と返してやりました。で、「４次元の立方体の展開図は立方体が８つくっついたものに違いないのではないか？」（これは ネット上にあったページの受売りで 私はきちんとわかっていない状況です。）と言ったら、数日後に「４次元の正四面体の展開図は ３次元の正四面体の４つの面に３次元の正四面体がくっついたものでしょ？だって、三角形を展開すると 辺が３つ、正四面体を展開すると 面が４つ、なら ４次元版正四面体を展開すると 立体が５つになるはず」と言ってきました。その後「なんで、球（面）は平面に展開できないのに、円（周）は線にできるんだろう？４次元の球は ３次元に展開できるのかな？」と質問してきました。もう、私は答えられません。参考文献などありましたら紹介してください。
私は、理系ですが 数学・物理は専門ではありません。
親の威厳を保つためではなく、単にこどもの疑問に答えたいと言う状況です。
よろしくお願いします。

回答No.3

ranx · ベストアンサー

三次元での多面体に相当するものを、高次元では多胞体と呼びます。
四次元で胞数が最小の正多胞体が正５胞体というのはあっています。
（参考URL）

「展開」の意味が質問者さんとNo.2さんとで違っているように思います。
三次元球以上の表面ではリーマンの非ユークリッド幾何に相当するものが
成り立ちます。平面上ではユークリッド幾何が成り立ちますから、前者の
形を変えずに後者に移すことは不可能です。

参考URL：

http://hp.vector.co.jp/authors/VA030421/fdd03.htm

お礼

ありがとうございます。

５つの正四面体の展開図は 正解と言うことでしょうか！（もう こどもに追い抜かれた！）

非ユークリッド平面って 球面上の平行線とか本で読んだくらいです・・・。もう わかりません・・・。
どんな本を読んだら良いでしょうか？是非 紹介してください。（難しくないのでお願いします。）

回答No.2

mmky

参考程度に
「４次元って 立体＋時間なんでしょ？」につては＃１さんのご指摘のように物理概念的な四次元ですね。この場合、例えば地球のどの時点でも絶対時間は同じなので絶対時間を基準にするとどのような微小の時間内にも地球全体が入っているという概念ですね。実際的にはどの地点へ行くにも旅行時間がかかりますから相対的な四次元しかないのですが。
それから数学的な四次元球の体積については以下を参考に。

三次元球の表面積は、4π*r＾2
四次元球の表面積は、2π＾2*r＾3
三次元球の体積は、4π/3*ｒ＾3
四次元球の体積は、π＾2/2*r＾4

四次元球体の表面積は四次元球体の体積をrで微分したものです。このとき体積から面積への変換で次元が１つ落ちますね。だから逆に例えば四次元球体の体積は四次元球体の面積（３次元体積の次元）をｒで積分(集めた)したものになります。これから展開は出来るということですね。

参考
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=569499
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=528696学的な四次元は以下のようですね。

お礼

ありがとうございます。
「n次元単位球の体積と表面積」って学生のときにやらされたような気がしますが はっきり覚えていません。

時空の４次元は こども向けの説明もいくつかあるので、こどもは勝手に読んでいるようです。（私も小さい時に時空の４次元は興味を持ちました。）からかい半分で（想像できずすぐにこどもが飽きると思った）こどもに数学的？４次元の話をしたのですが、こどものあたまの中には 何か見えてきているのかなぁとも感じます。（親バカですね！）
微積分は、これから先 嫌なほどやらされると思いますし、まだ小学生なので 『イメージ』が膨らむようにしてやりたいのですが、良い参考図書などありませんでしょうか？

補足的になってきていますが、お風呂で「波」の話を良くするのですが、先日は こどもが「２次元の世界での波は １次元、３次元の世界での波は２次元、だから たぶん ４次元の世界での波の表面は ３次元で書けるだろうなぁ。どんな風なんだろう？」と言っていましたが、私は 「そうだねぇ」くらいしか答えられず情けないところです・・・。

回答No.1

ItachiMasamune

>>４次元って 立体＋時間なんでしょ？
それは、物理学的にいう「四次元」であり、
数学的には点→線→面→のように拡張していったものです。

お礼

ありがとうございます。

４次元って言うとすぐにそっち（時空）の方へ話が行ってしまいタイムマシンみたいな話などになってしまうので、こどもをからかってみようと思い 数学的な拡張で話をしてみたのですが 私自身が自分でイメージができていないので こどもに説明ができなくなってしまっています。（「４次元って 立体＋時間なんでしょ？」とはどうもドラえもんから知識を得たようです・・。）