量子力学において運動量を微分演算子に代える物理的意味

質問

量子力学をきちんと物理的，数学的に理解したいので，独学で量子力学を勉強しています．学部時代は量子力学の授業がなかったこともあり，正直分からないことだらけで不思議に思うことがたくさんあります．

そのうちの一つとして，ある原子内の電子群を考え，ハミルトニアンHを持つ系だとすると，波動関数Ψの絶対値の二乗（存在確率）で存在する原子内にある一つの電子は，あるエネルギ準位（固有値）εしか取り得ないという考え方をシュレディンガー方程式
HΨ=εΨ
で表される固有値問題に帰着するということをとりあえず納得したとすると，線型代数学で出てくる固有値問題
Ax↑=λx↑
のように「ある固有ベクトルx↑に対してある固有値λが決まる」
ということと似ているのでなんとなく分かります．

波動方程式からシュレディンガー方程式を導出していくこともなんとなく分かりました．分からないことは，シュレディンガー方程式の導出として，ハミルトニアンを波動関数に作用させ，ハミルトニアン中に含まれる運動量を微分演算子に代えれば，シュレディンガー方程式になっているということです．この方法は，結果として成り立つだけで，後付けくさいなあと感じました．

過去にも同じような質問をされていた方
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa587812.html
がいましたので見てみると，運動量を微分演算子に代えるのは数学的には導けるようですが，その導く過程が物理的には分かりにくいと感じました．

量子力学を勉強する前に基礎知識が不十分なのもあるとおもいます．
なので，量子力学を勉強する前に習得するべき学問は何かと，どの順番で勉強すれば効率がよいかも教えていただきたいです．

（1）量子力学において，運動量を微分演算子に代えることの物理的意味は？もっと一般的に，その他の物理量（角運動量，スピン角運動量など）を演算子に代えることの物理的意味は？
（２）量子力学を勉強する前に習得するべき学問は何かと，それらをどの順番で勉強すれば効率がよいか？
です．長くなりましたが，よろしくお願いいたします．

回答No.3

nzw · ベストアンサー

行列形式を学習されていないのでしたら、ぜひ先ほどの解析力学の本を
よんだ後に、
「現代の量子力学　上下」J.J.サクライ　吉岡書店
を読まれることをお薦めします。

http://www.amazon.co.jp/%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%80%88%E4%B8%8A%E3%80%89-%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%8F%A2%E6%9B%B8-%E6%A1%9C%E4%BA%95-%E7%B4%94/dp/4842702222

そうすれば、シュレーディンガー方程式が天下りではなく、きわめて
自然な流れの中で導出されます。
この流れで学習すれば、化学系や工学系でよくある授業の形式である
ド・ブロイの物質波－＞シュレーディンガー方程式
という流れで感じる天下りによるもやもやが解消されます。
光や電子の粒子性と波動性の二面性というものもい後者の流れでは
うやむやのままですが、前者の流れでは明確な形で説明されます。

お礼

度々，ありがとうございます！
本のレビューも読んだところ，量子力学の本質を理解するには良書のようです．（内容は難しいようですが・・・）
解析力学を勉強した後に，この本にも挑戦したいと思います．

回答No.2

nzw

行列形式の量子力学は、解析力学の上に構築されています。
ですから、きちんと理解されたい場合には、まず解析力学を学習し、
・ハミルトン形式
・正準変換
・ポアソン括弧
あたりを理解されておいた方がよいでしょう。この辺りを理解して
おけば、運動量と微分の関係、ハミルトニアンと時間変化との関係
などが理解しやすいでしょう。

教科書としては、そのものズバリのタイトルを持った
「量子力学を学ぶための解析力学入門」高橋康著　講談社サイエンティフィク
が良いでしょう。非常に丁寧に書かれた本なので、独学でも読みやすい
と思います。

なぜ、物理量を演算子にかえるのか？という問いですが、これこそが
量子力学の本質そのものといえるでしょう。
系の状態がベクトルで表現でき、物理量の観測が行列に対応し、
観測結果が行列の固有ベクトルに対応するということが量子力学
を古典力学と異なる点を沢山生み出しています。

たとえば行列であるが故に、非可換性が生じ、これが不確定性原理
の原因に成っています。有限次元の行列の場合、固有ベクトルの数が
有限になり、これが例えばスピンなどで離散的な値しか観測されない
ことにつながっています。

また、ニュートン方程式は、基本的に質点にしか通用しない式です。
また、正規直交座標系を用いた場合のみ簡単な形式になるという、
非常に強い制限を持った体系です。

これに対し、行列形式の量子力学というのはもっと汎用的な形式で、
質量の有無を問いませんし、実空間座標系すら要求しません。それも
これも、上記ルールを採用したお陰です。

なお、いわゆるシュレーディンガー方程式は、質点の場合にしか
使えないという意味で、非常に狭い範囲のみで通用する形式です。

お礼

ご回答ありがとうございました．
本のご紹介ありがとうございました．解析力学は習ったのですが，古典力学をより一般的に拡張するための道具としか見ていなかったので，量子力学への橋渡しとして解析力学を本質的に勉強していきたいと思います．

行列力学についてはまだ勉強したことがないので，たしかにマルチな視点で量子力学を勉強することで，視野を広げることができそうです．

回答No.1

91091

ファインマン物理学５巻１６章にこんな記述があります。
シュレディンガー方程式の記述の後に、
「どこからこれがえられたのか。どこからでもない。これを諸君の知っていることから導き出すことは不可能である。これは、シュレディンガーの精神から生まれたものである。現実の世界における実験事実を理解しようとする彼の苦闘のなかから発明されたものである。」

また、量子力学の考え方（砂川重信著）にも、量子化の手続き（運動量、位置、エネルギーを演算子におきかえること）が何を意味するのかまったくわからないと書いてあります。

後付けでいろいろな解釈があるようですが、本質的には、だれもわからないのではないかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます．
実は，古典的な波動方程式からシュレディンガー方程式を導く過程にも少々腑に落ちない点があります．「古典的な波が波動方程式に従うから，量子的な波も従うんじゃないか？そして，数式をガチャガチャいじった結果が実験結果ともよく一致した」ってイメージです．たしかに，天下り的にこの事実を受け止めるのもいいでしょうが，これから量子力学を勉強していく上でおいてけぼりを受けそうな感じもします．