どうして三立方の予想はだいたい70°ですか？

質問

参考リンク先で三平方の定理の実証実験しています。
https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o&hd=1
液体は立体ですが奥行きを同じにして、平面に見立てて、三平方しています。
じゃあ、
三立方は？と思ってしまいました。

3辺a,b,cの長さの組を(a,b,c)とする。

a+b=cである3辺で三角形が作れない。
(1,1,2)→無理やり余弦定理すると(c^2-a^2-b^2)/-2ab=2/-2=-1=cosC
acos(1)=180°

a^2+b^2=c^2である3辺で三角形を作ると90°
(1,1,√2)→余弦定理すると(c^2-a^2-b^2)/-2ab=0/-2=0=cosC
acos(0)=90°

じゃあ
a^3+b^3=c^3である3辺の三角形を作るといくつ°?
1乗で180°、2乗で90°、3乗なら?
180/1=180,180/2=90,180/3=60
きっと60°に違いない。
a^3+b^3=c^3である3辺の三角形を作る60°を仮に3立方の予想とする。

(1,1,3√2)→いくつ°?
3√2≒1.2599
(c^2-a^2-b^2)/-2ab=-0.7401/-2=0.3701=cosC
acos(0.3701)=68.2782°

(1,2,3√9)→いくつ°?
3√9≒2.0801
(c^2-a^2-b^2)/-2ab=(4.3268-1-4)/-4=-0.6732/-4=0.3366=cosC
acos(0.3366)=70.3301°

(3,4,3√81) →いくつ°?
3^3=27 4^3=64 たして81
3√81≒4.3267
(c^2-a^2-b^2)/-2ab=(18.7203-9-16)/-24=-6.2797/-24=0.2617=cosC
acos(0.2617)=74.8290°

a^3+b^3=c^3である3辺(a,b,c)の三角形を3つ作ってみました。
(1,1,3√2)→68.2782°、(1,2,3√9)→70.3301°、(3,4,3√81)→　74.8290°
いちばん長い辺に対する角の角度はだいたい70°でした。
三平方の予想ははずれです。

2乗で選んできた3つの数と同じ長さの辺だと直角三角形だけができます。
3乗で選んできた3つの数と同じ長さの辺だとだいたい70°の三角形たちができます。

どうして三立方の予想はだいたい70°ですか?

回答No.2

staratras · ベストアンサー

No.1 です。念のために、bがaのx倍のとき、角Cの値がいくらになるかをグラフ化してみました。

縦軸yが角C（度）横軸はb=xa とした場合のxです。

y=(acos(1+x^2-(1+x^3)^(2/3))/2x)・180/π

お礼

回答ありがとうございます。
横軸の１の右側と左側は形は違うけど、実は対称です。
左側だけ、低が10の対数メモリにすれば、
きっと横軸のx=1について左右対称に見えるでしょう

とりあえず、1の右側だけ見ればよいb＞＝aゆえに。

(a,b,c)の組み合わせですべての異なる三角形が見つけ出せて、

そのうちのa^3+b^3=c^3なやつらを全部取ってくると、
回答いただいたグラフの1から右側の曲線が単調増加だから約78°を下限として90°未満の範囲にベターっと異なるひとつの角度にひとつの三角形が対応します。

a^2+b^2=c^2なやつらを全部取ってくると、
グラフは縦軸90°で横にまっすぐな直線になります。
90°の角度にたくさんの異なる直角三角形が対応します。
グラフが3乗の曲線と交わらないから3乗なやつらとかぶらない。

脱線してすべての異なる三角形の個数と、3乗なやつらの個数と、2乗なやつらの個数を
すべて>2乗>3乗の順かな？と考えようとしましたが、危ない感じがしてやめました。グラフ上ですべては面積、2乗は長さ、3乗は長さだから、だいたいすべて>2乗=3乗だろう。危ない。

元に戻って、3乗が曲線、なのは何で？
というのが問いの言い換えになります。

で、それに答えているのがno.3回答だと1読して思いました。
ぱっと見図形で答えているから。

数式と図形とそれをつなぐ関係を1を中心にべチョーっと縮小して、x-y座標にぶちこんだ図がいい感じに熟成するまでちょっと時間がかかりそうです。

とりあえず言いたいことは、
no.3の回答を読みました。
です。

回答No.3

staratras

No.1＆2です。下のようなグラフで考えると直感的に分かり易いかもしれません。

三角形の最長辺cを1に固定します。半径0.5(直径1)の半円(青色:x^2+y^2=1/4)を考えるとこの半円上の両端AとBを除くどの点にCをとっても、三角形ABCは角Cが直角の直角三角形です。
これがa^2+b^2=c^2 =1　の場合です。

それではa^3+b^3=c^3=1 はどのような場合かといえば、
(√((x+1/2)^2+y^2))^3+(√((x-1/2)^2+y^2))^3=1 を満たす点C'なので、下の赤いグラフになります。これは両端A、Bでのみ半円と一致し、それ以外では半円の外側にあります。したがって角Cは常に鋭角であって、完全に直角にはなりません。角Cが最も小さくなるのは三角形ABCがCA=CB、言いかえるとa=bの二等辺三角形となるとき、つまりCがy軸上にあるときであることも明らかです。

お礼

結論はbがaのx倍のとき、角Cの値がいくらになるかというアイデアと図示
がよかったのでno.2の回答をベストアンサーにします。

回答ありがとうございます。
場所が出てきました。

辺ABを(-0.5,0)と(0.5,0)の間に決めて
角Cを作る点C(x,y)をうごきまわして調べる作戦です。

長さでなくて、場所で考える。
x軸上より上(y>0)にあれば、3角形ができます。
3角形ができない場合はx軸上にぎゅーっと詰め込まれてます。

角Cが90°なのは辺AB直径の円周角です。

点(x,y)と点(±0.5,0)の距離の計算をつかって
3乗の予想の点の軌跡を座標平面上に描いています。
式が満たす場所です。そして場所は角度です。
角度の数値と辺ACとBCのなす角で見せるので直感的です。

(a,b,c)3つの長さの組み合わせがある。
長さの全部の種類が入ると、三角形ができない組み合わせもある。
だからa+b>c　b+c>a 　c+a>b の制限をつけて、
満たすような(a,b,c)3つの長さの組み合わせにする。

でも、(1,1,√2)とか(2,2,2√2)の相似な三角形と違う三角形(1,1,1.5)が混ざる
最長辺を1に決める。
(1/√2,1,√2,√2/√2)と(2/2√2,2/2√2,2√2/2√2)は相似な三角形。(1/1.5,1/1.5,1,5/1,5)は別。

相似な三角形をひとまとめにして異なる三角形全部を点Cが座標平面上を動き回ることでかぶらないようにしています。

ミソは一般性を失わないです。

=の見方に2種類あります。
1) 結果のとき。
1+２はというときで、1と+と2から3ということが分かる。答えは1個。左から右へ。

2)当てはまる組を探せのとき。
=の左と右は同じというときで、a+b=cの3つの数を探すと(1,2,3)とかたくさんある。

三角形はちがっています。
1)結果のとき。
長さが1と2の2辺の3角形はというときで、3つ目の辺は0<c<1+2になります。答えはいろいろ。

2)当てはまる組を探せのとき。
2辺を足して3つ目の辺と同じ長さというときで、そんな三角形はありません。
一般性を失ってました。

もうひとつは

a^2+b^2=c^2の式は、図形の切り貼りで示せます。
直角三角形⇔3辺それぞれの正方形⇔2つの小さいほうの正方形を切り貼りで大きな正方形になる。⇔a^2+b^2=c^2
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/sanheihou_2/sanheihou_2.htm

でも、a^3+b^3=c^3の式は図形の切り貼りで示せますん。

角度約78度の三角形⇔3辺それぞれの立方体⇔2つの小さいほうの立方体を切り貼りで大きな立方体になる。⇔a^3+b^3=c^3

もしできても、特定の1個の三角形と相似の全部ですごい！感がないです。
こっちはまだ考えがくっきりしません。

一般性を失わないで類推がうまく働く感じをつかみたいというのが目的のようです。
ありがとうございました。

回答No.1

staratras

三角形の3辺a,b,cがcを最長辺としてa^3+b^3=c^3を満たしているという条件だけでは、角Cは約78度を下限として、任意の90度未満の角となります。別に70度近辺にはなりません。ここでb≧a　と仮定しても一般性を失いません。

まず角Cの下限はa=bの二等辺三角形のときです。c^3=2a^3 より　c=(2^(1/3))a
このとき　cosC=(2-2^(2/3))/2≒0.206299 だから　C≒78.0944 (度)です。

ところでbはaと比較していくらでも大きくできます。例えばb=10a とするとc^3=1001a^3 より　c=((1001)^(1/3))a このとき　cosC=(101-1001^(2/3))/20≒0.0466672 だから　C≒87.3251(度）

極端に細長い三角形を考え、b=1000a とすると　c^3=10億1a^3 より　c=((10億1)^(1/3))a
このとき　cosC=(100万1-(10億1)^(2/3))/2000≒0.0000499666 だから　C≒89.9715(度）

ご質問に例示された3つの三角形の計算にはそのそれぞれに計算ミスがあるため、たまたま70度近辺になっているのです。（一例を挙げると　27+64=91 です。81ではありません）

お礼

回答と誤り指摘ありがとうございます。
誤)だいたい70°
正)角Cは約78度を下限として、任意の90度未満の角となります。

計算誤り訂正し、約78°を下限とすることを確認しました。
グラフのx軸で言うと、下限の角度、下限の角度のちょっと右側2箇所を計算したことになるっぽいです。

(1,1,3√2)→78.0944°
3√2≒1.2599
(c^2-a^2-b^2)/-2ab=(1.5874-1-1)/-2=0.4126/2=0.2063=cosC
　acos(0.2063)=78.0944°

3^3=27 4^3=64 たして91
(3,4,3√91) →78.5391°
3√91≒4.4979
(c^2-a^2-b^2)/-2ab=(20.2315-9-16)/-24=-6.2797/-24=0.1987=cosC
acos(0.1987)=78.5391°

(1,2,3√9)→80.3110°
3√9≒2.0801
(c^2-a^2-b^2)/-2ab=(4.3268-1-4)/-4=0.6732/4=0.1683=cosC
acos(0.1683)=80.3110°

＞b≧a　と仮定
＞bはaと比較していくらでも大きくできます。例えばb=10a
はすばらしい考えです。重複する三角形どもが十把一唐揚です。

a+b=xとくれば、ｘはひとつに決まります。
a^2+b^2=x^2とくればxはふたつに決まります。
a^3+b^3=x^3とくればxはみっつに決まります。
でも
aとbの長さのが決まっても、三角形はいろいろ作れます。
aとbの長さのa^2とb^2が決まっても、三角形はいろいろ作れます。
aとbの長さのa^3とb^3が決まっても、三角形はいろいろ作れます。
数式は決まるけれど、三角形は角度が決まらずいろいろです。

a+b=cが3辺の三角形はみんな作れません。
a^2+b^2=c^2の3辺の三角形はみんな90°です。
a^3+b^3=c^3の3辺の三角形はみんな約78度を下限として、任意の90度未満です。

数式と幾何がどのくらい同じで、どのくらい違うかというのを
a+b=cと三角形
a^2+b^2=c^2と三角形
a^3+b^3=c^3と三角形
で考えてみました。

数式と幾何はだいたいおんなじなので、
a+b=c同士の関係　1乗と2乗と3乗が
三角形同士の関係 180°と90°と60°かも
と全体同士の関係が個別同士の関係にもあるかも
とまざったので類推ができて面白いのですが、はずれてさびしいです。
ああ！全体と部分と数式と三角形と幾何の階層分けて対応してすっきり言いたい！

数式が三角形を選ぶと思っていました。
学校の計算が、三角形の角度を求めたり、長さを求めたりすることが多かったからだと思います。

三角形が数式を選ぶと思うほうが正しいように感じます。