立方倍積問題

質問

与えられた立方体の2倍の体積を持つ、立方体の１辺を作図する。という古い問題で、ヒッポクラテスという人物が見つけた解法がわかりません。
彼は求める立方体の１辺の長さをxとすれば、この作図題を以下のような比例式になおせることを発見した。
a:x=x:y=y:2a すなわちx^2=ay y^2=2ax この２式からyを消去すると、x^3=2a^3
最後の式から推測すると、aは与えられた立方体の１辺だと思いますが。yは何を表すのでしょうか？教えてください。２乗は面積を表すこともあるので、何か立体の１辺かとも思ったのですが、立体(立方体)を3つ用意する解法は思いつきませんでした。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

1:x = x:y = y:2 なる比例等式は、1/x = x/y = y/2 = r なる分数等式と等価。

三項の累積は (1/x) * (x/y) * (y/2) = 1/2 = r^3 だから、
　r = (1/2)^(1/3)

… というハナシでした。

お礼

計算だけで説明できるんですね。驚きました。お返事ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

参考 URL
　　↓　「デロスの倍積問題」
の図 3 をご参照ください。
1:x = x:y = y:2 となる比例中項 {x, y} の位置関係の一例示です。

ベクトルの直交条件より、
　X^2 = Y
　2X = Y^2
なので、
　X = (2)^(1/3), Y = (2)^(2/3)
だとわかりますが、作図は「不能」。

参考URL：

http://www7b.biglobe.ne.jp/~math-tota/su2/deros.htm

お礼

ベクトルの内積の計算で、具体的にx,yの値が求まるのですね。参考情報の解説ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

与えられた立方体の1辺の長さを
a
求める立方体の1辺の長さを
x
とする
3辺の長さがa,x,yとなる直方体Aと
3辺の長さがx,y,2aとなる直方体B
で3辺の比が等しく
a:x:y=x:y:2a
となる相似な2つの直方体を考えると
|Aの体積|:|Bの体積|=axy:2axy=1:2
となります
yは
直方体Aの第3辺の長さ
=直方体Bの第2辺の長さ
を表します

お礼

いったん直方体に直して考えるんですね。解説ありがとうございます。