ベクトルと重積分

質問

ベクトルと重積分

OAとOBはベクトル
OA=(x1,y1)
OB=(x2,y2)
とすると
F(s,t) = |sOA + tOB|^2
∬F(s,t)dsdt
の重積分で三角形の点の距離の二乗の和を正しく求められているのでしょうか？
わかりづらい説明ですみません。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

ご質問に答えられているかわかりませんが考えてみました。

まず、重積分の範囲は、s,tとも0~1ですかね？
（仮にそうしてみましたが・・・）

とすると、
sOA+tOB=(sx1+tx2,sy1+ty2)
∴F(s,t)
=(sx1+tx2)^2+(sy1+ty2)^2
=(x1^2+y1^2)s^2+(x2^2+y2^2)t^2+2(x1x2+y1y2)st

∴∬F(s,t)dsdt
=∫{0～1}dt{(x1^2+y1^2)/3+(x2^2+y2^2)t^2+(x1x2+y1y2)t}
=(x1^2+x2^2+y1^2+y2^2)/3+(x1x2+y1y2)/2　…(1)

一方、
△の点の距離の二乗の和
=OA^2+OB^2+AB^2
=(x1^2+y1^2)+(x2^2+y2^2)+{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}
=(x1^2+x2^2+y1^2+y2^2)*2-(x1x2+y1y2)*2　…(2)

(1)(2)より、両者は一致せず（比例になってもいない模様）。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

辺の二乗のではなくて、原点Oと?OABの中の点との距離を求めたかったのですが。

回答No.2

Mr_Holland

「三角形の点の距離の二乗の和」とは何でしょうか。
　＃１さんが考えられたように、各辺の２乗の和のことでしょうか。
　だとすれば、質問の重積分では得られません。
　次のようにすると良いと思います。

　　OA^2+OB^2+AB^2 = F(1,0)+F(0,1)+F(-1,1)

お礼

早い回答ありがとうございました。

補足

説明不足ですみません。
x,yで範囲指定したときの積分とベクトルを使ったときの積分の違いを考えたかったのですが。