ε-δ論についての質問

質問

(lim n→∞)n+7/2n+8=1/2
これをε-δ論で証明せよという問題なのですが

変形して
3-8ε/2ε<n
N=[3-8ε/2ε]+1とする
これを最初の式に代入して
3/2([3-8ε/2ε]+1)+8から
不等式を利用してまたnに戻す所の意味がわかりません。

3-8ε/2ε<n
N=[3-8ε/2ε]+1とすると
この場合N≧nですよね？

回答No.2

kumipapa

#1 補足。

まあ、
a(n) - 1/2 ＜ ε
を解いて
n ＞ (3 - 8ε) / (2ε)
ならば a(n) - 1/2 ＜ ε
が成立。
故に　N = [(3 - 8ε) / (2ε)] + 1 とおくと、
n＞N ならば a(n) - 1/2 ＜ ε　が成立
でいいんじゃなのかなあ・・・。

回答No.1

kumipapa

a(n) = (n + 7)/(2n + 8)
とおいて
lim(n→∞) a(n) = 1/2
をε-δ論で証明しろってことは、
a(n) = (1/2) (n+7)/(n+4) ＞ 1/2 より、

任意のε＞0に対してある N が存在し、n＞N ならば a(n)-1/2＜ε が成立する

ことを示せばよいのですよね。
ということは、その「ある N が存在し」の N を具体的に示せればよい。
そこで、その N を求めてしまえ、ということで、
a(m) - 1/2 ＜ ε
を m について解いてみると
m ＞ (3 - 8ε) / (2ε)
なので、N = [(3 - 8ε) / (2ε)] + 1 としてやれば、N＞(3 - 8ε) / (2ε) だから a(N) - 1/2 ＜ ε　であり、かつ、n＞N ならば a(n) - 1/2 ＜ ε が成立

というように、「ある N が存在して n＞N ならば～」の N が存在することを示せた、ということです。

「 この場合N≧nですよね？ 」
示すべき命題の 「 n＞N ならば a(n) - 1/2 ＜ ε 」 の "n" と、
具体的に N の存在を示すための式（ a(n) - 1/2 ＜ ε ) で使った n とを混同してしまったようですね。
ということで、上の説明では、a(m) - 1/2 ＜ ε と、mを使ってみました。
回答になっていますか？

お礼

ありがとうございます
ｎを混合してたようです