∞*0はしてはいけないのでしょうか？

質問

タイトルのとおりです。
lim(n→∞) n{√(n^2+n)-n}
を求めろという問題があるんですが
n{√(n^2+n)-n}
=n*n/n{√(n^2+n)-n}
=n^2{√(1+1/n)-1}
で答えは∞*0=0になると思ったら間違いでした。
解答の式変形も理解できるんですが、こっちの式変形もどこが悪いのかが分からなくて・・・

回答No.4

kkkk2222

＞＞こっちの式変形もどこが悪いのかが分からなくて・・・
式変形は正しいです。
しかし不定形が解消できていないので問題が解けない。

不定形(∞*0,0/0,∞/∞などなど）は、
不定形を解消してから計算します。
不定形の解消は幾つかのパターンがあります。

この問題に関しては最終形は１つしかないような気がします。
（他では最終形が複数存在する問題もあります。）

となると些事ですが途中経過の変化くらいです・・・
Ｐ＝n{√(n^2+n)-n}
　＝n√n【√(n+1)-√n】
　＝n√n【1/(√(n+1)+√n)】
　＝n/(√(1+(1/n))+1)→∞

また＜高次の無限が体感できれば概ねの結果が予想できます。＞
Ｘと、Ｘ＾２、とe^x・・・
（e^x）／Ｘ　は結果は明白ですが証明となると、
（Ｘ＾２）／Ｘ＜（e^x）／Ｘ　とでもするのでしょうか。
＜はさみうち＞と称される技巧もあります。

回答No.3

sanori

極限を求めるときは、（というか、それ以外の場合もそうですけど）
∞*0
という式を作るのは約束違反です。

また、数学の決まりごとはさておいて、
あえて、∞*0 という計算をするとすれば、その答えは、「不定」という答えになります。

n{√(n^2+n)-n} = n{√(n^2+n)-n}{√(n^2+n)+n}/{√(n^2+n)+n}
= n{(n^2+n)-n^2}/{√(n^2+n)+n}
= n^2/{√(n^2+n)+n}
= n/{√(1+1/n)+1}

ここまで来れば、分かりますよね？

回答No.2

cyber-poem

不定形のままではないのでしょうか？
∞*0 0/0 ∞-∞　∞^0は不定形です

回答No.1

Tacosan

一般論として「∞*0=0」が既に間違っています.
∞に発散する速度, 0 に収束する速度によって 0 だったり (0 でない) 有限の値だったり∞だったりします.
例えば, 1 = x ・(1/x) だから 1 = lim(x→∞) [x・(1/x)] だけど, ここで 1 = [lim(x→∞) x] [lim(x→∞) (1/x)] = ∞×0 = 0 って書かれたら変な感じするよね.
もっとはっきりいうと, lim(x→∞) f(x) g(x) = [lim(x→∞) f(x)] [lim(x→∞) g(x)] という等式は右辺の 2つの因子が収束する場合に限り保証されるはずです.

お礼

やっぱりダメでしたか。
分かりやすい例をありがとうございます。次から気をつけます