不等式の証明問題！

質問

このあいだテストが返ってきて
ノートにテスト直しをしているのですが、
不等式の証明の仕方がわからなくて困っています！

χi＞０(i＝1,2,3,…,n)のとき、
不等式 1＜χ1＋χ2分のχ1　＋　χ2＋χ3分のχ2　＋…
　　　　　＋　χn-1＋χn分のχn-1　＋　χn＋χ1分のχn＜ｎ－1
が成り立つことを説明せよ。(ただし、ｎ≧３)

この問題の証明の
仕方(答え)を教えてください！
お願いしますっっ!!

回答No.2

tecchan22 · ベストアンサー

＞χ1＋χ2分のχ1　

せめて、（χ1＋χ2）分のχ1
と書いてくれると嬉しかったなあ。

こういう問題の一つの常套手段は、χi たちの間に順序を入れることです。

つまり、
χ1≧χ2≧χ3≧・・≧χn-1≧χn
と仮定しても一般性を失わないので、そうします。
（大小関係、逆でもいいですが）

そうしておいて、セオリー通り、
中辺－左辺＞０
右辺－中辺＞０
を示せばいいです。

注意点は、
中辺の各項は、みな０より大きく１より小さいということ。
そして、
χ1/(χ1＋χ2) - 1 = -χ2/(χ1＋χ2)
という関係ですね。
うまく正が示せるように、どれから１を引くか、１からどれを引くか、考えて下さい。
（ｎ－１は、１をｎ－１個に分けるといいですね）

では、頑張って下さい。

お礼

回答ありがとうございます！
頑張ってやってみます！
（χ1＋χ2）分のχ1と表せばよかったんですね！
わかりにくくてすみませんっっ

回答No.4

tecchan22

＃２です。分かったかな？＃３さんのように帰納法でも出来ますが、
僕の言ったやり方は、

中辺－右辺＝χ1／(χ1＋χ2) ＋ χ2／(χ2＋χ3) ＋ … ＋ χn／(χn＋χ1) - 1
＝ -χ2／(χ1＋χ2) ＋ χ2／(χ2＋χ3) ＋ … ＋ χn／(χn＋χ1)　　　　【第一項から１を引いた】
＞０　　　　【χ1＋χ2≧χ2＋χ3 より、最初の二項の和が０以上。ｎ≧３より、三項以上あるから、残りをあわせて正】

左辺－右辺＝（ｎ－１）－｛χ1／(χ1＋χ2) ＋ χ2／(χ2＋χ3) ＋ … ＋ χn／(χn＋χ1)｝
＝ -χ1／(χ1＋χ2) ＋ {1 - χ2／(χ2＋χ3)} ＋ {1 - χ3／(χ3＋χ4)} ＋ … ＋ {1-χn／(χn＋χ1)}
＝ -χ1／(χ1＋χ2) ＋ χ3／(χ2＋χ3) ＋ χ4／(χ3＋χ4) ＋ … ＋ χ1／(χn＋χ1)
＞０　　　　【χ1＋χ2≧χn＋χ1 より、最初と最後の項の和が０以上。ｎ≧３より、三項以上あるから、残りを足すと正】

です。
他にも色々出来そうですね。

お礼

親切にありがとうございます！
がんばってやってみます！

回答No.3

Meowth

n=3のとき
χ1/(χ1＋χ2)+χ２/(χ２＋χ３)+χ３/(χ３＋χ１)-1
={χ1(χ２＋χ３)(χ３＋χ１)
+χ２(χ1＋χ2))(χ３＋χ１)
＋χ３(χ1＋χ2)(χ２＋χ３)　)}/(χ1＋χ2)(χ２＋χ３)(χ３＋χ１)
分母>0
分子=x1^2・x2+x2^2・x3+x3^2・x1+x1・x2・x3>0
より成り立つ。
nのときなりたつとする。
すなわち、
χ1/(χ1＋χ2)+χ２/(χ２＋χ３)+...+xn-1/(xn-1+xn)+xn/(xn+x1)-1>0
n+1のとき
左辺-右辺
＝
χ1/(χ1＋χ2)+χ２/(χ２＋χ３)+...+xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1)-1
=χ1/(χ1＋χ2)+χ２/(χ２＋χ３)+...++xn-1/(xn-1+xn)+xn/(xn+x1)
-xn/(xn+x1)
+xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1)-1
>1-xn/(xn+x1)+xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1)-1
=-xn/(xn+x1)+xn/(xn+xn+1)+xn+1/(xn+1+x1)
={-xn(xn+xn+1)(xn+1+x1)+xn(xn+x1)(xn+1+x1)
+xn+1(xn+x1)(xn+xn+1)}/(xn+x1)(xn+xn+1)(xn+1+x1)
分母>0
分子=-xn(xn+xn+1)(xn+1+x1)+xn(xn+x1)(xn+1+x1)
+xn+1(xn+x1)(xn+xn+1)
=xn^2・xn+1　+　xn+1^2・x1　+ x1^2・ x1・xn・xn+1＞０
となり
n+1でもなりたつ。
数学的帰納法により、任意の自然数>3について不等式は成り立つ

お礼

回答ありがとうございます！
頑張ってみます！

回答No.1

kesexyoki

χiというのは「χのi乗」という解釈でよろしいですか？
また、χ2分のχ1は分母がχ1、分子がχ2という解釈でよろしいですか？

補足

χiはχのi乗です。
χ1＋χ2分のχ1は分母がχ1＋χ2、分子がχ1です。
わかりにくくてすみません(汗