高校数列

質問

数列｛An｝の初項から第n項までの和をSnとする。A2=３．
ｎ・Ｓn=(n－1)(2An＋2－n)　(n＝1、2、3・・・・・)を満たし手いるとき
(1)　数列｛An｝はｎ・A(n＋1)－2(n＋1)・An＝n＋2　・・(1)
(n＝1、2、3・・・・・)を満たすことを証明せよ
(2)　Anをnの式で表せ
ちなみにA(n＋1)は数列｛An｝の第n＋1項を意味します
この問題で(1)は証明できたのですが(2)での解答で
ｎ・A(n＋1)－2(n＋1)・An＝n＋2　・・(1)から
ｎ(A(n＋1)＋1)＝2(n＋1)(An＋1)という変形がみられるのですがどうしてそうなるのかわかりません。確かに両辺に＋nをすると変形できたり
。あるいは特性方程式よりα＝1と求まり変形できるのですが、ここでは変数nがあるので特性方程式が利用できるのかもわかりません。
どなたかわかる人がいましたらお願いします。

回答No.1

nettiw · ベストアンサー

>>n≧1
　>>Ａ(2)=3
　>>n・Ｓ(n)=(n-1){2Ａ(n)+2-n}
　>>Ａ(1)=0

　>>n≧2
　>>(n+1)・Ｓ(n+1)=n・{2Ａ(n+1)+1-n}
　>>　　　　n・Ｓ(n)=(n-1){2Ａ(n)+2-n}
　>>　　　　　　・・・
　>>Ｓ(n+1)-Ｓ(n)=Ａ(n+1)
　>>　　　　　　・・・
　>>n・Ａ(n+1)=2(n+1)・Ａ(n)+n+2
-------------------

　n+2 を左右に上手く分配したいので、

　n・{Ａ(n+1)+b}= 2(n+1)・{Ａ(n)+b} と置いて変形して見ると、

　n・Ａ(n+1)=2(n+1)・Ａ(n)+b{2n+2-n}
　n・Ａ(n+1)=2(n+1)・Ａ(n)+b{n+2} となり、

　b=1 と決定します。

　>> n・{Ａ(n+1)+1}= 2(n+1)・{Ａ(n)+1}

　Ａ(n)=n・{2^(n-1)} -1 となるようですね。

お礼

ありがとうございました。

補足

解き方はわかりました。ではこれは特性方程式ではないということですか？

回答No.2

age_momo

>ここでは変数nがあるので特性方程式が利用できるのかもわかりません。

C(n)={A(n)+1}/n

とすると、

>ｎ(A(n＋1)＋1)＝2(n＋1)(An＋1)

より

(A(n＋1)＋1)/(n＋1)=2(An＋1)/n

よって

C(n)=2C(n-1)=…=2^(n-1)C(1)

ですよ。

お礼

お忙しい中ありがとうございました。