積分の応用問題らしいのですが

質問

水面が２m×２mで水深が100cmの水槽があります。
その底に断面積が30cm2　の穴があります。
この穴の流出係数が0.6としてこの穴から水が全部流出するまでの時間を出しなさい。流出速度は水深がｘのとき√2ｇｘ（ルート２ｇｘ）

この問題を積分で出せるのでしょうか
∫水の体積－∫流出体積×０．６　こんな感じでしょうか。

ハッキリ言ってまったく分かりません。
ご存知の方いましたらよろしくお願いします

回答No.2

noname#57316

底面がA、深さHの水槽に面積がaの穴があり、深さがxの時、
そこから水が流出速度f(x)で流れ出る、とします。

時刻t～t+dtの間に、水深がx～x-dxになるとすると
A・(x-dx)-A・x=（{f(x)+f(x-dx)}/2）・dt　（1）
となります。
f(x)は時刻t、f(x-dx)は時刻t+dtにおけるそれぞれの流出速度です。
f(x-dx)=f(x)-{df(x)/dx}・dx　ですから
（1）　の右辺は
[{f(x)+f(x-dx)}/2]・dt=（[f(x)+f(x)-{df(x)/dx}・dx]/2）・dt
=f(x)・dt-[{df(x)/dx}/2]・dx・dt
これは二次の微分であるので考慮するに及ばない。
従って、
-A・dx=f(x)・dt
-dx/f(x)=dt/A
全ての水が流出するに要する時間をTとして
xをH～0、tを0～Tまで積分すると
-∫[H～0]dx/f(x)=∫[0～T]dt/A
f(x)=c・a√(2gx)　ですから左辺は、
∫[0～H]dx/{c・a√(2gx)}={2/(c・a)}・{√(2gx)}|[0～H]
=√(2H/g)/(c・a)
右辺は
∫[0～T]dt/A=T/A

∴　√(2H/g)/(c・a)=T/A
T=A・√(2H/g)/(c・a)
これに数値を代入すると
T=2・2・√(2・1/0.98)/(0.6・0.0030)=3174.6
Tの単位は、m・m・[√{m・(sec^2/m)}]/m^2=sec　ですから（秒）です。

結局、流出時間は、3174.6（秒）　となります。

回答No.1

tono-todo

？？？
流出係数が分からないのではなさそうですが・・？

流出係数０．６とは、実際の流出量は理論流出量の０．６倍と言う意味です。
流出体積が計算できればそれでＯＫですが、怪しそうですね、
水が流出すると、水位が下がります。水深ｘは時間ｔの関数です。
全０．４立米の水が時間当たり流出量の時間積分を合致する時間を求めることになります。