比例の問題です。教えてください。

質問

問.底に小穴の空いた円柱形において、容器内にある水はそこから水面までの高さの平方根に比例した速さで流出する。ある量から空になるまでの時間が知りたい。計測していると半減するのに100秒掛った。空になるのは流出し始めてから何秒後か。

⇒まず、円柱の底面積をS、穴の面積をa、流出し始めた時の底から水面までの高さをL、比例定数をkとしました。時刻y秒後の底から水面までの高さをxとすれば、h秒間で水面が-g下がった（つまりg増えた）とすると流出する水の量の関係式は、
k*(√(x+g))*a*h < -S*g < k*(√x)*a*h
となり、各辺をhで割って
k*(√(x+g))*a < -S*g/h < k*(√x)*a
ここで、
lim g =0
h→0
であり、
lim g/h
h→0
は、水面の瞬間の速さdx/dyに他ならないので、h→0にすることで
-S*dx/dy = k*a*√x (⇔ -S= y' *k*a√x )
が成り立つ。求めたいのはx=0の時のyの値で、問よりy=0のとき
x=L　で　x=L/2のときy=100が分かる。

ここまでたどり着いたのですが、不要な変数S,a,k,Lをどう消していって答えに導くかがわかりません。
以上です。ご教示よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

下記のような感じでやると、不要な文字に困らずに済みますし、lim の式も不要です。

最初は、
Ｌ：　水の高さ
ｔ：　時刻
だけを置きます。

「容器内にある水はそこから水面までの高さの平方根に比例した速さで流出する」
ということから、
ｄＬ／ｄｔ　∝　－√Ｌ

正の比例定数ｋを用いて表せば、
ｄＬ／ｄｔ　＝　－ｋ√Ｌ
ｄＬ／√Ｌ　＝　－ｋ・ｄｔ
Ｌ^(-1/2)・ｄＬ　＝　－ｋ・ｄｔ

積分して、
２Ｌ^(1/2)　＝　－ｋｔ　＋　定数その２

Ｌ　＝　（－２ｋｔ　＋　２×定数その２）^2　　　・・・（あ）

初期の水の高さをＬ0 と置けば、
ｔ＝０　のとき　Ｌ＝Ｌ0　なので、
Ｌ0　＝　（０　＋　２×定数その２）^2
より
定数その２　＝　（√Ｌ0）／２

よって、（あ）は、
Ｌ　＝　（－２ｋｔ　＋　√Ｌ0）^2　　　・・・（あ’）
と書けます。

また、
「計測していると半減するのに100秒掛った。」
ということから、
ｔ＝１００　のとき　Ｌ＝Ｌ0／２　なので、
Ｌ0／２　＝　（－２ｋ・１００　＋　√Ｌ0）^2
√（Ｌ0／２）　＝　－２００ｋ　＋　√Ｌ0
ｋ　＝　（√Ｌ0　－　√（Ｌ0／２））／２００
　＝　（１　－　１／√２）（√Ｌ0）／２００

よって、（あ’）は、
Ｌ　＝　（－２（１　－　１／√２）／２００・（√Ｌ0）ｋｔ　＋　√Ｌ0）^2
　＝　（－（１　－　１／√２）ｔ／１００　＋　１）^2・Ｌ0　　　・・・（あ”）
と書けます。

よって、Ｌがゼロになるときの時刻をｔ1 と置けば、
０　＝　（－（１　－　１／√２）ｔ1／１００　＋　１）^2・Ｌ0　　
０　＝　－（１　－　１／√２）ｔ1／１００　＋　１
（１　－　１／√２）ｔ1／１００　＝　１
ｔ1　＝　１００／（１　－　１／√２）　（　＝　だいたい３４１秒）

以上、ご参考になりましたら。

お礼

答えを出すところまで解説して頂きありがとうございます。とても参考になりました！
やっぱり無理にリミットを使わなくてもいいみたいですね！ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

k * a / S = c と置くと、分からないものは c と L だけ。
k, a, S は、c の形にまとまってしか登場しない。
y = 0 のとき x = L,　y = 100 のとき x = L/2 という条件を連立させて
L を消去すると、c についての方程式が得られる。

お礼

cについて求める事が出来ました！参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

FEX2053

なんかそこまで複雑に考えなくても、円柱である以上、全ての高さで
断面積が同じなんだから、高さだけを変数と考えていいはず。
だったら要するに、

√x - √(x/2):100 ＝ √x：ｙ

と考えていいだけなんじゃ。こうすれば多分ｘは消せてy=で出てくると
思うんですが・・・。

お礼

言われてみれば難しく考えすぎですね。授業でちょうど極限などに触れていたので使って答えを出そうとしていました。
ありがとうございました。