積分の問題

質問

上面の半径が10cm深さが20cmの直円錐形の容器がその軸を鉛直にして置かれている。この容器に毎秒3立方cmの割合で静かに水を注ぐ時、水の深さが6cmになる瞬間の、水面の上昇する速さと水面の面積の増加する速さを求めよ。
　という問題なのですが、多分積分の問題だろうと思うのですが、僕の家族は期待してもしょうがないけど全く分かりません。誰かこの問題の分かる方教えてください。それと三乗ってどうやって入力するのでしょうか？

回答No.2

rei00 · ベストアンサー

kajuram さんの回答がありますので，もうお分かりかと思いますが，「水面の面積の増加する速さ」の方を回答しておきます。

水の深さ x cm の時の水面の面積 S は，
　　S = π x (半径)^2 = π x (x/2)^2

ここで速度は時間あたりの変化ですから，水面の面積の増加する速度は (dS/dt) と微分になります。

したがって，
　　dS/dt = d(π x (1/4) x (2x) )/dt = (π/2) x (x) x (dx/dt)

ここで，(dx/dt) は求まっていますから (dS/dt) も求まります。

いかがですか。

お礼

すごくスマートな解法ですね！ばっちり提出できました。感謝感謝です。

回答No.3

nagata

時刻tの時の深さをH(t),水面の面積をS(t),体積をV(t)と置くと、

S(t)=π{H(t)/2}^2
V(t)=S(t)H(t)/3
V(t)/dt=3

というのが一番素直な式のたてかただと思います。
いや、別にそれだけなんですが。聞き流しちゃってください。

お礼

この解法もスマートでいいですね！全然思いつきませんでした～。ご回答ありがとうございます。

回答No.1

kajuram

積分ではなく、微分の問題ですね。

水の深さをxとすると、水面の半径はx/2となりますね。
このときの体積Vは、V=(π/12)x^3となりますね。
ココで、時間tについて微分をとります（ちなみに、Vとxはtの関数です）。

　(dV/dt)=(π/12)3x^2(dx/dt)

となります。
後は、わかりますよね。
たぶん、あっていると思いますが、自信はあまりありません。

お礼

ありがとうございます。なんとか締め切りまでに提出する事ができました。本当にご回答ありがとうございました。