数学の微積分、体積の問題です。

質問

数学の微積分、体積の問題です。

高さa，半径2aの円筒形のふたのない容器がある。
底面が水平になるように容器を置き、内部に水を満たした。
次に、容器を静かに45°傾けた。
ただし、表面張力は無視する。

（1）容器に残っている水の水面の面積を求めよ。
（2）容器に残っている水の体積を求めよ。

お願いします。

また、ヒントに“水面の図形を容器の底面に正射影して”
とあるのですが、“正射影”について簡単に説明もらえるとありがたいです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

底面をXY平面として円筒の中心腺をZ軸にとる。
45度容器をX軸の周りに回転する代わりに、水の方を45度回転して考えると
溢れて残った水の水面の方程式は
z=y-a (x^2+y^2<=4a^2,a<=y<=2a)
となる。
ここで、水面の容器の底面への正射影の領域Dは D={(x,y):x^2+y^2<=4a^2,a<=y<=2a}
図を描いて考えると理解しやすいかと思います（参考図添付）。

水面の面積Sは
S=∫∫[D]√(1+fx^2+fy^2)dxdy
=∫[a,2a] dy*2∫[0,√(4a^2-y^2)] √(1+0+1)dx
=2(a^2)∫[1,2]dy∫[0,√(4-y^2)] √2dx
=2√2(a^2)∫[1,2] √(4-y^2)dy
=(√2/3)(4π-3√3)a^2
≒3.47435a^2

容器を45度傾けて残った水の体積Vは
V=∫∫[D](y-a)dxdy
=∫[a,2a](y-a)dy*2∫[0,√(4a^2-y^2)] 1 dx
=∫[a,2a](y-a)*2√(4a^2-y^2)] dy
=(1/3)(9√3-4π)a^3
≒1.0074a^3

>“正射影”について簡単に説明もらえるとありがたいです。
射影する平面（円筒容器のの底面を含む平面）の垂直方向の真上から図形（ここでは水面）を見下ろした時の平面に出来る影の図形を図形の正射影という。