水孔からの流出を求める問題

質問

１ｍ×１ｍ×１ｍの車輪付き箱に水深0.8ｍまで水が入れてある。
底から10cm上のところに直径２cmの穴をあけた。
（１）で停止時にこの水槽に働く力は4.3Ｎと求めました。

（２）水面高さが変化しないとして速度が0.5m/secの時に作用する力はいくらになるか。
（３）停止から30秒経ったときの速度を求めよ。ただし水面位置は変わらないとする。
水の密度は1000kg/m^3、水のない箱だけの重量は50kgfとする。

答え　（２）3.71N　（３）0.148m/sec

（１）は分かったんですがこの２問が分かりません。教えてください。お願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

以下，文字については解読してください。

（１）

作用反作用の法則により，力は単位時間に水が得る運動量に等しいから
F = ρπr^2 u^2 = ρπr^2・2gh

（２）

uは水槽に対する相対速さになるから水が得る速さはu - v
F' = ρπr^2 u ( u - v )

（３）

運動方程式
M dv/dt = ρπr^2 u ( u - v )
積分すると
v = u { 1 - exp( -ρπr^2v/M×t ) }

以上のようになると思います。

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

yokkun831

すみません，訂正です。

（３）の指数内のvはuの誤りでした。なお，計算結果は

（２）　3.73N
（３）　0.149m/s

でした。有効桁数は無視してよい問題かと思いますが，２桁までは合っています。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

yokkun831

補足です。

水量が800kgに対して出て行く水は毎秒1kg程度なので，水槽＋水の質量変化は無視しました。水面位置が変わらないとしていることからも十分許される範囲の近似であると思います。

お礼

ありがとうございます。