ヒント付きの練習問題に取り組むときの疑問

質問

参考書の練習問題を解いていて、
「数列{(2n)!/((n!)^2)}の収束・発散を調べよ」
という問題に巡り会いました。そのままではどうしても解けなかったので、「n=1から4ぐらまで代入してみて、数字がどんどん大きくなって行くから発散！」とやったんですが、巻末の解答を見ると

　発散、（ヒント　(2n)!/n! ≧ 2^n　を示せ）
　（(2n)!/((n!)^2) ≧ 2^n でも示せたので、その間違いだと思います＾＾；）

と書いてあるんです。それはそれで納得できるんですが、どうしても腑に落ちないことがあります。数学が得意になってくると、ヒントを見ることなく「(2n)!/n! ≧ 2^n」のような関係式がパッと頭に浮かんで「だから発散！」という結論を見いだせるものなんでしょうか？

今、たまたま数列の問題を解いていたので、数列の問題を例に挙げましたが、「こんな問題ヒントを見ないと解けない！」と思うことは良くあって、こういうことは常々疑問に思って来ました。

宜しくご教授お願いします。

回答No.5

noname#58959 · ベストアンサー

「数列{(2n)!/((n!)^2)}の収束・発散を調べよ」

この問題を解くときの思考のプロセスは
（１）この数列が発散しそうだと見当をつける。
（２）(2n)!/((n!)^2)　は等式として変形しても発散が即座に言える簡単な式になりそうもないから不等式を使おう。
（３）{(2n)!/((n!)^2)}≧ｆ(n) を満たし、簡単に発散することがいえるような関数ｆ(n) はないか。(そのようなｆ(n)があれば、相撲に例えれば決まり手「押し出し」で題意が示せる)

となると思います。
質問者によるとヒントではｆ(n)＝ 2^n となっていたそうですが、 ｆ(n)＝ n^2 でもｆ(n)＝ n
でも、簡単に発散が言える関数なら何でもいいのです。
質問者の場合ｎ=1,2,3,4を代入して（１）の手順は行ったようですが、それだけでは数学が求める解答にはなっていません。なぜなら５以上について確認ができていないことと、ｎと共に増加する関数であっても
P(n)=1/2 +1/(2^2) +1/(2^3) + ・・・+ 1/(2^n)
のように収束するものもあるからです。
　数学に慣れてくると上記のようなプロセスの中でヒントの式にたどりつくのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> この問題を解くときの思考のプロセスは

そう言う手続き無しにただヒントを見ただけ、という私の態度にも問題が合ったんですね。

回答No.4

age_momo

>「n=1から4ぐらまで代入してみて、数字がどんどん大きくなって行くから発散！」

これをもっと自力で拡げられたらいいのですが。。。

>ヒントを見ることなく「(2n)!/n! ≧ 2^n」のような関係式がパッと頭に浮かんで「だから発散！」

ある程度、発散するか収束するかの見込みは立つようになるでしょうね。でも、上達者は
質問者さんが考えたことから解答(ヒント)のところまでを苦も無く結び付けられるのだと
思います。決して問題から2^nがパッと頭に浮かんでくるものでは無いと思います。
(そこまで問題をやり込むのも意味が無いでしょう)

どんどん大きくなって行く⇒一般式で表して、前の項と比べてどれぐらい大きくなるだろう

a[n]={(2n)!/((n!)^2)}　として (一応、a[n]>0とも断っておきます)
a[n+1]/a[n]={(2n+2)!/((n+1!)^2)}/{(2n)!/((n!)^2)}=2(2n+1)/(n+1)>2
a[n+1]>2a[n]>2^2a[n-1]>・・・・>2^(n-1)a[1]=2^n

だから発散。『こういう風に式変形していけば良い方向に行く』という
経験的なものはありますが、2^nが思いつかなければ証明できないという
ものでは有りません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私の考えでも、数学的に正しく記述できれば、答えを導くことができるんですね。

回答No.3

bushclean

＞n=1から4ぐらまで代入してみて、数字がどんどん大きくなって行くから発散！」とやったんですが

それを、数学的に証明されたのでしょうか？
それならそれで、正解です。

ただ、より他にも応用できるような証明方法として
古典的な定説的な方法や知識を身につける、ということが
必要なのでしょう。

数学や科学関係に限りませんが数百年・数千年の知識を
覚えてそれを元に「ひらめき」で解決するものです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> それを、数学的に証明されたのでしょうか？
これは痛いところを・・・＾＾；　大きくなる幅がどんどん広がっていったので、この先もどうせ大きくなるだろうから、と勝手に推測した次第です。

> 数百年・数千年の知識

そこなんですね。私一人に与えられた時間に対して、それがどれほど膨大なことかを考えると、ただただ恐ろしいばかりです。

回答No.2

koko_u_

高校で出てくる程度の数列の場合は、だいたいの発散の「具合」がわかっていれば、評価しやすいということはあります。

例えば多項式よりも指数の方がずっと「早く」発散するとか、
階乗はスターリングの公式でだいたい n^n / e^n くらいだとか。

>「こんな問題ヒントを見ないと解けない！」と思うことは良くあって
参考書によってはヒントの出しかたが天下り的であったり、あまりにトリッキーであったりして却って学習者を混乱させていることはあります。
自分なりの解法をアレコレ模索するのが最もよいでしょう。

# 例に挙げた問題は別段難しくもないのでヒント不要で解いてほしいけど

お礼

ご回答ありがとうございます。

スターリン公式は私の学ぶ分野でも何度か出てきたので知っていましたが、発散の「早さ」というのは初耳です。
(2n)!/((n!)^2) ≧ 2^n という式がパッと思いつくかどうかは分からないにしても、数学が得意になれば、「早さ」のように、問題を解く上で手助けとなる何かを思いつくように成るんでしょうか。

> 参考書によってはヒントの出しかたが天下り的であったり、あまりにトリッキーであったりして

まだそう言う視点から問題を見るレベルに達していない私が言うのもなんですが、確かにそう言う面はあるかもしれませんね。

> 例に挙げた問題は別段難しくもないのでヒント不要で解いてほしいけど

ご指摘、真摯に受け止めております＾＾；

回答No.1

fifaile

解けなくていいんです。
次解ければいいんですから。

要は、問題慣れしていないということです。
今回間違えて、このようなヒントがあったことを覚えていますよね。
ということは、この流れを覚えておけば次は解けるということですよ。

思いつかなきゃ解けない問題なんていくらでもあります。
そういう問題をこなして、発想するパターンを覚えるんです。
そうすれば、本番で解けるようになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

私も同じように思うんですが、ヒント付きの複雑な問題（Ａ問に対するＢ問のような・・・）をいくら解いても、次違うヒント付きの問題に出くわしたときに解けるようにならない、ということがしばしばあります。がんばりが足りないのでしょうか・・・