数列の問題…教えて下さい

質問

以下の問題ですが、どう手をつけていいのかわからずに困っております。どのような方針ですすめればよいのでしょうか？ヒントを下さいませ。

数列{a_n}がa_1 =3, a_{n+1}=√{a_n +2} (n=1,2,…)
により与えられるとき以下の問いに答えよ。
(1)すべての番号n=1,2,…に対し,a_n >　2　が成り立つことを示せ.

(2){a_n}が単調減少数列であることを示せ.

(3){a_n}が収束することを示し,その極限値を求めよ.

回答No.1

kougakubudesu · ベストアンサー

ヒント
(1)数学的帰納法
(2)a_{n+1}-a_n>０を示す
でいいと思います。(3)は(1),(2)より明らかなんですけど、形式的に極限値を出す方法があるのかな？まあそのへんは他の方のを参考にして下さい。

回答No.4

quantum2000

繰り返しのようになりますが・・・

（１）は、No.１さんのおっしゃるとおり、数学的帰納法が分かりやすいでしょうね。

（２）については、No.１さんやNo.２さんのおっしゃるとおりですが、この数列はすべての項が正の数で、ルートを含んだ数列ですから、各項の２乗を考えると、ａ_{n+1} － ａ_n ＞ ０ を示しやすいのでは？

（３）については、まず（１），（２）よりこの数列は単調減少で有界な数列ですから、収束する訳ですよね。そして、問題はその極限値ですが、これはNo.２さんのおっしゃるように、存在すると判ればそれを例えばＸと置いて、式を作って解けば求まります。

なお、ご参考までに、蛇足を述べると、
（１） この数列は、一般に、初項が－２より大きいどんな数の場合でも、２に収束します。（初項ａ_1 が、－２ ＜ ａ_1 ＜ ２ のときは、単調増加しながら２に収束します。）
（２） 漸化式が一般に、
　　　　ａ_{n+1} ＝ √{ａ_n ＋ｋ}　(n=1,2,…)
のとき、ｋ ≧ ０ のときは、この数列は収束するようです。（極限値は簡単に求まります。）
（３） さらに一般に、漸化式が例えば、
　　　　ａ_{n+1} ＝ √{２×ａ_n ＋３}　(n=1,2,…)
などのような場合でも、この数列は収束するようです。

お礼

みなさんどうもありがとうございました。無事、解決いたしました。

回答No.3

adinat

ほとんどヒントというより答えになってしまいますが、考え方を。帰納法に乗せるのがきちんとした解答のために必要ですが、a_{n+1}=√{a_n +2}によって数列の次の番号を決めているわけです。もしいまa_nが2より大きければ、a_n+2は4よりも大きく、その√は2よりも大きくなっていますよね。

単調減少を言うには、♯1さんのように一個前のを引いてみてそれが負になることを言えばよいです。

そして(3)ですが、a_1=3から始まって、2よりも大きい数列がだんだん減っていくわけですから、かならず何かに収束します。それをαとしましょう。a_{n+1}→α、a_n→αというわけです。そうすると漸化式の両辺でn→∞としてみると、α=√{α+2}となるので、極限を求めることができます。

回答No.2

kougakubudesu

すみません。訂正です。
× (2)a_{n+1}-a_n>０
○ (2)a_{n+1}-a_n<０