この式がわかりません。教えてください

質問

数学のサイトで問題を解いていたのですが、

Ｆn+1 =2(Ｆn 　+1)

F1 =2 より　Ｆn =2(2＾n -1)

この式がわかりません。どうしたらＦn =2(2＾n -1)という式が導けるのでしょう？どなたかわかる方教えてもらえないでしょうか。
宜しくお願いします。

回答No.2

fukuda-h · ベストアンサー

これは隣接２項漸化式ですね。高校２年の数学Bの数列の漸化式で習います。
Ｆn+1 =2Ｆn 　+２
を変形してＦn+1 ＋２=２（Ｆn +２）
と変形して数列｛Ｆn +２｝を公比２の等比数列と考えると一般項の公式から
Ｆn +２＝(２＾(n-1))*（Ｆ１　+２）＝(２＾(n-1))*4＝２＾(n+1)
Ｆn＝２＾(n+1)-２＝2(2＾n -1)
となります。

お礼

なるほど。ようやく理解できました。ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

実は裏技なんだけど不動点がもとまれば簡単です. この漸化式の不動点を a とすると
a = 2(a+1)
から a = -2 となり, これから
F(n+1)-a = 2(Fn+1)-a, つまり
F(n+1)+2 = 2(Fn+1)+2 = 2(Fn+2)
となります. ここで Gn = Fn+2 とおくと
G(n+1) = 2Gn という, 単純な等比数列になりますね.

補足

早速の回答ありがとうございます。
僕はまだ漸化式とか習っていないので不動点とか言われてもわかりません。もう少しかみくだいて教えてもらえないでしょうか。
せっかく回答をいただいたのに申し訳ないです。