数学の問題ですが・・・

質問

この問題、私では全然わかりません、

nは自然数とする。Sn＝1!+2!+3!+・・・+n!とおき
Snの一の位の数をfnとする。
ただし、n!=1×2×3×・・・×(n-1)×nである・

(1)5!とf10の値を求めよ。

(2)Snがある自然数の平方となるようなnを全て答えよ。

この2問です、ぜひ答えとそのとき方（式）も
教えてください！

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

(1)
5! = 1×２×３×４×５ = 120 です。

ここで注意していただきたいのが、5!の一の位が０であるということです。
０に何を掛けても０ですから、n≧5のとき、nをいくら大きくしても
n!の一の位は０になります。　（ここまでＯＫですか？）

つまり一の位がずっと０なので、その和であるSn の一の位の数fn についても
f5 = f6 = … = f10 = …　となります。（これもＯＫですか？）

1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 なので
S1 = 1 よって f1 =1
S2 = 1+2 = 3 よって f2 =3
S3 = 1+2+6 = 9 よって f3 = 9
S4 = 1+2+6+24 = 33 よって　f4 =3
S5 = 1+2+6+24+120 = 153 よって f5 =3

従ってf10 (=f5) =3 になります。

(2)　1～10までの数の平方（＝2乗）を考えると
1^2 = 1
2^2 = 2
3^2 = 9
4^2 = 16
5^2 = 25
6^2 = 36
7^2 = 49
8^2 = 64
9^2 = 81
10^2 = 100　（^2 は2乗のことです）
ですので、「Snがある自然数の平方」であるためには、少なくともその一の位の数（=fn）が0,1,2,4,5,6,9でなければなりません。
(1)の考察により、条件にあうのは n=1(Sn=1=1^2)とn=3 (Sn=9=3^2)　のときだけです。