三項間の漸化式

質問

宿題で、次の漸化式から関数式を求めよ、という宿題が出ました。こんな問題です。
　f(n+1)-2f(n)+f(n-1)=1 　　(n>=2) ただしf(1)=1

漸化式が二次式なのはすぐにわかったのです。
そこで、nが2、3、4のときに応じてan^2+bn+cに値を入れ、その式=1として三元連立方程式を解こうとしました。
しかし、どうしても同じ方程式が何個も出てきてしまい、連立することができません。

この問題はどうやって解くべきなのでしょうか？
または解けるのでしょうか（笑）？

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

jm4cvpさん、こんにちは。
３項間の漸化式の場合、f(2)が決まっていないと、f(n)は求められないと思うのですが・・

ｎ≧２のとき
f(n+1)-2f(n)+f(n-1)=1
f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)+1　と変形

f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)+1
f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-2)+1
・・・・・
f(3)-f(2)=f(2)-f(1)+1
-----------------------------上から下まで足すと
f(n+1)-f(2)=f(n)-f(1)+(n-1)←１の(n-1)個分

さらに整理して
f(n+1)-f(n)=f(2)-f(1)+(n-1)とかけますので

f(n)-f(n-1)=f(2)-f(1)+(n-2)
f(n-1)-f(n-2)=f(2)-f(1)+(n-3)
・・・・
f(2)-f(1)=f(2)-f(1)+0
--------------------------------上から下まで足すと
f(n)-f(1)={f(2)-f(1)}(n-1)+Σ[k=1to(n-2)]k

f(n)=1+(n-1)f(2)-(n-1)+(n-2)(n-1)/2
f(n)=(n-1)f(2)-n+2+(n-1)(n-2)/2

のように書くことができると思います。
f(2)が与えられていれば、求められますね。

回答No.6

noname#24477

そもそも整式になるのか？
という問題があります。整式とすれば２次式かもしれないけれど・・・

それを示すには結局＃２などのようにやることになるので
それならば最初から＃２のようにやったほうが良い。

数列の問題として捕らえれば、
{f(n+1)-f(n)}-{f(n)-f(n-1)}=1
b(n)-b(n-1)=1　の形ですから階差数列が公差１の等差数列
を意味しています。
３項間の漸化式は２つの項が分からないと決定できないでしょう

回答No.5

ryn

混乱させてしまい大変申し訳ないです。

ずっと頭の中だけでやってたのですが、
jm4cvp さんの解答をちゃんと追ってみたところ
大ポカをやってたことに気づきました。

f(1) の式から a + b + c = 1
n>=2 の関係式から 2a = 1
という２つしか独立な式は得られませんね。

自身ありとしておきながらやっちゃいました。
> または解けるのでしょうか（笑）？
ほんとですね。
αを任意定数として
　f(x) = (1/2)x^2 + αx + (1/2 - α)
までしか決まらないですね。

回答No.4

ryn

解答を書かずにヒントにとどめようとしたので
少しわかりにくい表現になってしまったかもしれませんね。

> f(1)の式からひとつ。
> f(2)とf(n>=2)をつなぐ式。
> までは理解できるのですが、
f(2) と f(n>=2) をつなぐ式ではなく
f(1) と f(n>=2) をつなぐ式ですね。

> f(n>=2)のあいだの関係式が作り方がわかりません。
少し表現が悪かったようで申し訳ありません。
これはｎが２以上の f(n) のみの間の関係式という意味で書いたので、
n = 3, 4, … を代入した場合です。
すでに jm4cvp さんが出している式だと思います。

n = 2 の場合が左辺に f(1) も混じってきますが、
ここで f(1) = a + b + c を左辺に入れてしまうと、
ｎが３以上のときと同じ式になってしまいます。

ｎが２以上で成り立つ
　f(n+1)-2f(n)+f(n-1)=1
の式と、n = 1 の
　f(1)=1
をつなぐために f(1) = a + b + c ではなく
f(1) = 1 を代入することで新しい式が得られます。

困ってらしたのはここですかね？

お礼

ありがとうございます。
　トンチンカンなことをやっているかもしれませんが、とりあえずこんな風にしてみました。
　f(1)=1　より
　a+b+c=1 -(1)
n=2の時
　f(3)-2f(2)+f(1)=1
9a+3b+c-2(4a+2b+c)+1=1
a-b-c=0 -(2)
n=3の時
f(4)-2f(3)+f(2)=1
16a+4b+c-2(9a+3b+c)+4a+2b+c=1
2a=1
a=1/2
　でaが出てきました。
そこでaを(1)、(2)に代入してb,cを出そうとしたのですが・・・。
　(1)1/2+b+c=1
b+c=1/2
(2)1/2-b-c=0
　　b+c=1/2
　となってしまい、２つとも同じ式になってしまいました。
　ハチャメチャなことをやっているかもしれませんが、もう少しご教授していただけませんでしょうか？
　すみません・・・。

回答No.3

ryn

> 関数式を求めよ
これは整式と思って回答します。

> 二次式なのはすぐにわかったのです。
たしかに３次以上だと左辺にｎが残ってしまいますね。

ただし、jm4cvp さんが試されたように
　f(x) = ax^2 + bx + c
のようにおいた後 x = 2, 3, 4 を代入しても
新しい式は出てきません。
２以上のどんなｎを代入しても左辺が１になる
ということからf(x) が２次式であることを決めたので
当然といえば当然です。

f(1) の式からひとつ。
f(1) と f(n>=2) をつなぐ式。
f(n>=2) のあいだの関係式。
という３つから係数が決定できます。

お礼

回答ありがとうございます。
　f(1)の式からひとつ。
　f(2)とf(n>=2)をつなぐ式。
　までは理解できるのですが、
　f(n>=2)のあいだの関係式が作り方がわかりません。
　やっぱりf(2)の値がいるのですか？

回答No.1

zetafunction

一般的な３項間漸化式の解き方は知っていますか？
下記サイトを参考にしてみてください。

参考URL：

http://www.crossroad.jp/mathnavi/math-a/zenkasiki/type-4.html