数学の証明

質問

∫0～π/2sinｎ乗xdx=∫0～π/2cosｎ乗xdx
=n-1・n-3・・・・1・π／n・n-2・・・・2・2（n=2k）
n-1・n-3・・・・4・2／ｎ・ｎ-2・5・3（n=2k-1）

この証明を教えてください。
よろしくお願いします。(m_m)

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

(1)　　∫{0～π/2} sin^n(x) dx = ∫{0～π/2} cos^n(x) dx
は x = (π/2) - y とすれば直ちにわかります．

(2)　　I(n) = ∫{0～π/2} sin^n(x) dx
として，１回部分積分します．
(3)　　∫sin^n(x) dx = -(1/n) sin^{n-1}(x) cos x + [(n-1)/n]∫sin^{n-2}(x) dx
ですが，(3)の右辺第１項は x=π/2 を代入しても x=0 を代入してもゼロになります．
したがって
(4)　　I(n) = [(n-1)/n] I(n-2)
で，n が２つ小さいところの積分に帰着されました．
繰り返し使えば
(5)　　I(n) = [(n-1)/n] [(n-3)/(n-2)] ・・・ I(0)　　　n：偶数
(6)　　I(n) = [(n-1)/n] [(n-3)/(n-2)] ・・・ I(1)　　　n：奇数
で，
(7)　　I(0) = π/2
(8)　　I(1) = 1
と組合わせれば証明すべき式になります．

なお，
n!! = n(n-2)(n-4)・・・4・2　　n：偶数
n!! = n(n-2)(n-4)・・・3・1　　n：奇数
がこの種の話でよく使われます．

本質的でない計算ミスやタイプミスがあるかも知れませんので，
チェックもよろしく．

回答No.3

mmky

少し途中の補足がいるかなあ。

In=∫sin^n(x) dx = ∫sin(x)・sin^（n-1）(x) dx 　だよね。
2項目を部分積分するとsin(x)を積分、sin^（n-1）(x) を微分だよね。
=｛-cosx・sin^n(x)｝+∫cos(x)・{(n-1)sin^(n-2)(x) ・cos(x)}dx 　
=｛-cosx・sin^n(x)｝+（n-1)∫cos＾2(x)・sin^(n-2)(x) dx 　
=｛-cosx・sin^n(x)｝+（n-1)∫{1-sin＾2(x)}・sin^(n-2)(x) dx
=｛-cosx・sin^n(x)｝+（n-1)∫{sin^(n-2)(x) -sin^(n)(x)}dx
=｛-cosx・sin^n(x)｝-（n-1)In +（n-1)∫sin^(n-2)(x) dx
整理して
In+(n-1)In=nIn=｛-cosx・sin^n(x)｝+（n-1)∫sin^(n-2)(x) dx
だからIn=（1/n)｛-cosx・sin^n(x)｝+（n-1)∫sin^(n-2)(x) dx
ところが（0-π/2)で｛-cosx・sin^n(x)｝→0　になるので
In=（1/n）（n-1)∫sin^(n-2)(x) dx
　={(n-1)/(n)}I(n-2)
ということで漸近式が得られるね。あとは偶数、奇数の問題ということで
＃1、＃２さんにあるね。
途中経過の証明を参考まで

回答No.1

nubou

前半：
Ｉ［２・ｋ］＝∫（０＜ｘ＜π／２）ｄｘ・（ｓｉｎ（ｘ））＾（２・ｋ）
とし部分積分を使って漸化式
Ｉ［２・ｋ］＝Ｉ［２・ｋ－２］・（２・ｋ－１）／（２・ｋ）　（１≦ｋ）
を導く

後半も同じようにする