数学的帰納法~整数であることの証明

質問

数学的帰納法の初歩(?)の質問です。

問。ｎは自然数とする。２数ｘ，ｙの和、積がともに整数のとき、ｘ^n＋ｙ^n整数であることを、数学的帰納法によって証明せよ。

という問題なのですが、解説に
i)n=1,n=2のときに成り立つことを示す
ii)n=k,n=k-1であると仮定して、n=k+1のときにも成り立つことを示す
とありました。
また、注がついており、
『x^(k+1)+y^(k+1)=(x^k+y^k)(x+y)-xy{x^(k-1)+y^(k-1)}である』とありました。

なぜ『』だからi)でn=2を、ii)でn=k-1を書かないといけないのですか？
お願いします。

回答No.3

R-gray · ベストアンサー

見分けるコツ、というかなんというか。

数学的帰納法の場合、普通は
まずn=kでの成立を仮定して・・・(1)
そのあとn=k+1での成立を証明する・・・(2)
としますよね。

ここで(2)を示す時に必ず(1)の仮定を使っている、というのが重要です。
（問題集の数学的帰納法の問題を見直してください）

今回の問題だと、まず
x^(k+1) + y^(k+1) をどうにかして、仮定しておいた x^k + y^k で表そうとします。
すると（多少の勘も使って）
x^(k+1)+y^(k+1)=(x^k+y^k)(x+y)-xy{x^(k-1)+y^(k-1)}
を思いつきます。
x^k + y^kだけで表すのは無理だったのです。
どうしても x^(k-1)+y^(k-1)が必要なようです。

ならば前２項を仮定する帰納法にしようかな、と思うわけです。

お礼

ありがとうございました。
とてもわかりやすく、想像しやすかったです。

回答No.2

edomin

専門家ではないので、違ったことを言っているかもしれませんが

この問題は全てのｎ（自然数）について成り立つことを証明しなければなりません。
ｎ＝１、ｎ＝２、ｎ＝３、・・・・・∞
まで、証明することは不可能ですので何か違う方法を考えました。
「ｎ」について成り立つことが証明できて「ｎ＋１」が「ｎ」と「ｎ－１」を使って証明できれば全ての自然数について正しいと言うことが出来ます。
そのためには、まずスタートを証明します。「ｎ＝１」の時に成り立つことを証明します。次に「ｎ＝２」の時も成り立つことを証明します。
その次ですが、「ｎ＝３」を証明するのではなく、一般的な表現方法を用いて、全ての自然数について成り立つことを証明しているのです。
ｎ（２）、ｎ－１（１）の時ｎ＋１（３）が証明できれば、その延長としてｎ（３）、ｎ－１（２）の時（ｎ＋１）（４）も成り立つといえます。

補足

1)n=1のときに成り立つ
2)n=kと仮定したときn=k+1が成り立つ
これで証明はできないのですか？

回答No.1

rtz

整数＋整数 も 整数－整数 も 整数×整数 も整数になる。
(x^k+y^k)も{x^(k-1)+y^(k-1)}も整数であればx^(k+1)+y^(k+1)は
整数×整数－整数×整数となり整数である。

つまりこれを利用するために
n=1,2からn=3を証明、
n=2,3からn=4を証明、
n=3,4からn=5を証明、…
としないといけないので、前二項から次の一項を証明するパターン。

お礼

ありがとうございました。
前二項から次の一項を証明するパターンというのを
スパっと見分けるコツはありますか？