数学的帰納法 不等式の証明

質問

数学的帰納法の不等式の証明について質問させていただきます。

nは3以上の自然数とする。不等式　2のn乗＞2n+1　・・・(1)を数学的帰納法により証明せよ

　この問題で、n=3のときを証明し、次にk≧3としてn=kのとき(1)が成り立ち、　2のk乗＞2k+1　・・・(2)と仮定する。

　つぎに、n=k+1のとき(1)の両辺の差を考えると、
(2)より　２のk+1乗-{2(k+1)+1}=2・2のk乗-(2k+3)＞2(2k+1)-(2k+3)となります。この＞の右側の2(2k+1)-(2k+3)の部分がなぜこうなるのか分かりません。

　できるだけ詳しく解説をお願いしたいです。よろしくお願いします。

回答No.3

toho-tsu · ベストアンサー

回答させていただきます。

この2(2k+1)とは、
2のk乗＞2k+1　・・・(2)を利用しています。

まず、n=k+1のときの両辺の差を考えることで、２のk+1乗が2(k+1)+1よりも大きいことを示します。
これを示すことによって、常に2のn乗＞2n+1が成り立つことが証明されます。

そして、
2・2のk乗-(2k+3)は、
2のk乗＞2k+1を利用するために、２のk+1乗-{2(k+1)+1}が変形されたものです。
2のk乗に変形することにより、そこに2k+1を代入します。
そして代入した結果が、2(2k+1)-(2k+3)です。
しかし、2のk乗＞2k+1であるため
2・2のk乗-(2k+3)＝2(2k+1)-(2k+3)のように、イコールでは繋げず、
2・2のk乗-(2k+3)＞2(2k+1)-(2k+3)のように不等号になるのです。

そのあとは、2・2のk乗-(2k+3)＞2(2k+1)-(2k+3)＝2k-1となり、
k≧3であるため、2k-1＞0であることが示され、
２のk+1乗が2(k+1)+1よりも大きいことが示されます。
あとは上記のとおりです。

要するに、2・2のk乗-(2k+3)から2(2k+1)-(2k+3)に変形するのは、
２のk+1乗が2(k+1)+1よりも大きいことを示すための計算を楽にするためです。

以上で回答を終わらせていただきます。
下に参考となるサイトを添付しておきます。

つたないのもので申し訳ありませんでした。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive_method3.htm

お礼

ご丁寧にご回答ありがとうございます。
よく考えてみると単純なことでした・・・
参考サイトまで載せていただき本当にありがとうございました

回答No.2

asuncion

n=3のとき、2^n>2n+1は成り立つ。
n=k（ただしk≧3）のときに2^k>2k+1が成り立つとすると、
2^(k+1)-{2(k+1)+1}
=2・2^k-(2k+3)
ここで、仮定より、2^k>2k+1であるから、
2・2^k-(2k+3)>2・(2k+1)-(2k+3)=2k-1>0
よって、2^(k+1)>2(k+1)+1より、n=k+1の場合にも成り立つ。
∴n≧3の場合、2^n>2n+1は成り立つ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
練習して自分のものにできるようがんばりたいと思います！

回答No.1

gohtraw

2のk乗＞2k+1
なのだから、
2・2のk乗-(2k+3)　と、その中の「２のｋ乗」を「２ｋ＋１」に置き換えた2(2k+1)-(2k+3)を比較すると
2・2のk乗-(2k+3)＞2(2k+1)-(2k+3)
となるでしょ？

お礼

お返事遅れてしまい申し訳ありません。
考えればごく単純なことでした。
ありがとうございました！