数学教えてください(´・ω・｀)

質問

Σ[n=2～N]1/(nlogn)≧∫[2～N]1/(xlogx)dx
Σ[n=1～N]1/n^log3≦∫[1～N+1]1/x^log3dx
Σ[k=1～N]1/k＞∫[1～n]1/xdx
これらがどうして成り立つのか分かりません(´・ω・｀)どなたか教えてください

それと＝の上に△がついた記号の意味も教えてください！

回答No.1

noname#154783

グラフを描きます．

例えば
∑[n=2,N] 1/(n log n) ≧ ∫[2,N] 1/(x log x) dx
だったら，y = 1/(x log x)のグラフを描いてみますと（添付図にN = 7の場合を描いてみました），

∫[2,N] 1/(x log x) dx は斜線部の面積で，
オレンジ色の短冊の面積と比較すると，
∫[2,N] 1/(x log x) dx ≦ ∑[n=2,N-1] 1/(n log n) ≦ ∑[n=2,N] 1/(n log n).

他も同様です（添付図の長辺が350ピクセルまでなので，3つの図を詰め込むと見苦しいんです...）．

特に2番目のやつなんか，見た目はいかめしいのですが，log 3は単なる定数なので，pとでも置いてしまうと（p = log 3 > 1），

∑[n=1,N] 1/n^p ≧ ∫[1,N+1] 1/x^p dx

となって，見た目スッキリです．

> それと＝の上に△がついた記号の意味も教えてください！

文献に断り書きがあると思いますので，断り書きが見つけられるのなら，その断り書きの通りなのですが，「＝の上に△がついた記号」は「左辺を右辺で定義する」という意味で使われているのだと思います．

お礼

ありがとうございます！！(´・ω・｀)