数学的帰納法の証明で・・・

質問

問題の解答は以下のようになるそうですが、（★）より下の計算でなぜ
A(k+1)-((k+1)+1)≧０　と証明できるのかわかりません。。お願いします。

（一般項 A(n) とします）

A(n+1) = (An)^2 - A(n) + 1 (n≧2) が成り立っています。
また、　A(1)=2 です（使わないと思いますが念のため）

n≧2　のとき、A(n)≧n+1 を証明します。

(1) n=2 のとき
省略

(2) A(k)≧k+1 が成り立つと仮定する。
A(k+1)-((k+1)+1)
=(Ak)^2 - A(k) + 1 -(k+2) （題意より）
=(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2)　　（平方完成）（★）
=(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2)
=(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2)
=(k+1)(k-1) ≧０

となり、n=k+1　のときも成り立つ。

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

=(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2)　　（平方完成）（★）
ここで仮定を使ってA(k)≧k+1を代入すると
≧(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2)・・・ここは≧です。
k+1はそのまま一つにして(k+1- 1/2)^2を展開する
=(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2)
＝k^2+2k+1-k-1+1-k-2
=k^2-1 （ここで、n≧2　のときを考えているのでk≧2はあたりまえ）
=(k+1)(k-1) ≧０

お礼

よく分かりました！
ありがとうございました。

回答No.2

noname#108210

証明に一部ミスがあります。

=(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2)　　（平方完成）（★）
=(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2)
=(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2)

１行目から２行目は等号ではなく，不等号「≧」でなければ
なりません。そして，ここでは，コメントが必要です。
「A(k)が放物線の対称軸の右側で単調増加の部分にあること」を断ります。

＝(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2)
帰納法の仮定から，A(k)>1/2　なので　　
（上式）≧(k+1- 1/2)^2+ 3/4 -(k+2)
　　　　＝(k+1)^2-(k+1)+1-(k+2)

この部分は，次のようにすることもできます。
帰納法の仮定から　A(k)≧k+1　なので
A(k)-(1/2)≧k+(1/2)
これから
{A(k)-(1/2)}^2≧{k+(1/2)}^2

したがって
(A(k)- 1/2 )^2 + 3/4 - (k+2)　
≧{{k+(1/2)}^2 + 3/4 - (k+2)　
＝k^2-1
≧0

お礼

回答ありがとうございました。
助かりました！