数学的帰納法

質問

nは自然数とする。5^(n+1) + 6^(2n-1) は31で割り切れることを証明せよ。という問題です。

数学的帰納法でとくと・・・
(1)n=1のとき
5^(n+1) + 6^(2n-1)
=5^(1+1) + 6^(2-1)
=5^2 + 6
=25+6
=31
となり、成り立っている。

(2)n=kのときも成り立っていると仮定すると
5^(k+1) + 6^(2k-1)となり、これは31の倍数である。
よって5^(k+1) + 6^(2k-1)=31Mとあらわすことができる(M：整数)

n=k+1のとき
5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1)
=5^(k+2) + 6^(2k+1)

ここまではわかりました。
この問題はn=k+1のときも31の倍数であることを証明すればいいのですよね？
しかし5^(k+2) + 6^(2k+1)から
31{・・・・}となるように持っていくことができませんでした。
（私の考えが違っていたらすいません。）

解答を見たら（n=k+1のときの前までは解答と同じでした。）

n=k+1のとき
5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1)
=5(5^(k+1) + 6^(2k+1)＋31・6^2k-1
となっています。
これは31の倍数であるから、n=k+1のときも成り立つ。
(1)(2)より、すべての自然数について命題が成り立つ。
となっていました。

どうやって、5(5^(k+1) + 6^(2k+1)＋31・6^2k-1に持っていたのですか？
できる限り詳しく教えてください。お願いします。

回答No.1

DIGAMMA · ベストアンサー

こんにちは、

そこまで、自分で考えたなら、以下で十分かと思います。

5^(n+1)+6^(2n-1) の　nを一つ増やすと、
(5^(n+1))*5+(6^(2n-1)*36)になります。これは
(5^(n+1)+6^(2n-1))*36 - (5^(n+1))*31 です。

これの１項目は３１の倍数と仮定しているもの掛ける３６ですし、
２項目は３１の倍数なのは明白です。

ご参考まで、勉学がんばってくだい。

お礼

ありがとうございます。
私、最後の詰め見たいのが弱いのです・・・
大変参考になりました。

回答No.2

shkwta

解答が間違っているようです。

5^(k+1+1) + 6^(2(k+1)-1)
=5(5^(k+1)) + 36(6^(2k-1))
=5(5^(k+1)) + 5(6^(2k-1)) + 31(6^(2k-1))
=5(5^(k+1) + 6^(2k-1)) + 31(6^(2k-1))
=5×31M + 31(6^(2k-1))

こうなると思います。

お礼

ありがとうございます。参考になりました。
確かに、Mと置いたになってませんでした。
細部までの指摘ありがとうございます。