数学的帰納法って？証明をして下さい！

質問

次の問題を、どなたか解いて頂けないでしょうか？
ｎは自然数とする。このとき、次式が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ。
１×３＋２×４＋３×５…＋ｎ(ｎ＋２)＝１/６ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋７)…命題Ａ

　ｎが１のときに成り立つことは証明できました。ｎ＝ｋのときに命題Ａが成り立つと仮定すると、１×３＋２×４＋３×５…＋ｋ(ｋ＋２)＝１/６ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)…(1)である。ｎ＝ｋ＋１のとき命題Ａの左辺は(1)を用いて、命題Ａの左辺＝…以下の証明が出来ません。
　数学的帰納法について、あまり理解してません。出来れば解説を加えて頂きたいです。よろしくお願いします！（１/６は、６分の１のことです。）

回答No.3

noname#181872

数学や英語は基礎の積み重ねで応用ができるようになるので、基礎をしっかり
やって下さい。

n=kのとき成り立つとしたとき、n=k+1のときは、
１×３＋２×４＋３×５…＋ｋ(ｋ＋２)＋(ｋ＋１)(ｋ＋３)
=１/６ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)＋(ｋ＋１)(ｋ＋３)
これは（ｋ＋１）でまとめることができます。1/6も外に出しておきましょう。
残ったものは？

回答No.2

cip

１０年ほど前に数学に散々悩まされたcipと申します。
懐かしい単語を見つけたので見させていただきました。

答えは＃１の方のヒントで出てきますから、私は高校時代に聞いた小話を。
○茶碗にはいくらでもご飯を盛ることができる
　１粒のご飯は盛ることができます。では、ｋ粒盛ることができると仮定すると、もう一粒くらいは乗せることができるでしょう。よって、いくらでも盛ることができます。
○全ての人はハゲである
　１本の人はハゲでしょう。ｋ本の人がハゲであると仮定したとき、１本くらい増えてもハゲはハゲ。よって全ての人はハゲである。

数学的帰納法はたくさん問題を解いて、解答手段のこつを自分でつかむことです。頑張ってくださいね。

回答No.1

noname#181872

数学的帰納法っていうのはn=1のとき成り立てばn=2のときも成り立つ、
n=2のとき成り立てば、n=3のときも成り立つ、…ってず～っとやれば、
nが1以上の整数で成り立つことになりますよね。そういうやり方で証明を
することです。ただ、ここで1個1個やっていったら、”じゃあn=3023のときは？”
とか”n=65431では？”ということになって手間がかかるので、ある任意のnの
ときに成り立てば次の値でも成り立つ、という風にするのです。そうすると、
n=1だけ証明できれば順々にやればendlessで言えることになるので。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・　　　　　　　　　　　　　　　　
で、この問題ではn＝kのときに成り立つと仮定しているので、その式を
利用してしまうのです。つまり

１×３＋２×４＋３×５…＋ｋ(ｋ＋２)を１/６ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)
としてしまうのです。そうすると、
１×３＋２×４＋３×５…＋ｋ(ｋ＋２)＋(ｋ＋１)(ｋ＋３)は
どうなるでしょうか？うまいこと因数分解すると？

お礼

早速の丁寧な回答、ありがとうございます！…すいません。因数分解の方法も忘れてしまいました。