基本情報技術者試験 平成15年秋 午前 問2 について

質問

下の問題の[3]、[4]の導き方がわかりません。
桁数D、Bが大きい場合とは何と比べて大きい場合なのでしょうか？
ご教示お願いします。

【問題】
ゼロでない整数の10進表示の桁数Dと2進表示の桁数Bとの関係を表す式はどれか？

(ア)D≒2log(10)B
(イ)D≒10log(2)B
(ウ)D≒Blog(2)10
(エ)D≒Blog(10)2

【解説】
ゼロでない整数をNとすると
Nは10進数では桁数がDなので 10^(D-1)≦N＜10^D ・・・[1]
Nは2進数では桁数がBなので 2^(B-1)≦N＜2^B ・・・[2]
[1]より D-1≦log(10)N＜D
　　　 log(10)N＜D≦log(10)N+1
したがって、桁数Dが大きい場合 D≒log(10)N ・・・[3]
[2]より B-1≦log(2)N＜B
　　　 log(2)N＜B≦log(2)N+1
したがって、桁数Bが大きい場合 B≒log(2)N ・・・[4]
[4]の対数の底を10に変換すると
　　　 B≒log(2)N＝log(10)N/log(10)2
したがってlog(10)N＝Blog(10)2となり、これを[3]に代入するとD≒Blog(10)2

【解答例】(エ)

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

あまり本質ではないところで悩んでますね。
元々、例えば8桁の数字があればそのlog[10]をとれば7.×××・・・
という数字になります。なので桁数といわれればlog[10]Nを考えれば
良いです。2進表示でも同じでlog[2]Nを計算すれば何桁になるかは
予想できます。そこから派出している問題だと思います。
上のことから
D≒log[10]N
B≒log[2]N
辺辺を割ると
D/B≒log[10]N/log[2]N=log[N]2/log[N]10=log[10]2
D≒Blog[10]2

ところで解説が言っているのは

99.5<100<100.5なら99.5≒100と言ってもおかしくないでしょ
0.5<1<1.5で0.5≒1というのは50%も違うけど、上の例なら
0.5%しか違わないでしょ。

と言っているのです。どっちみち誤差は1未満なんですから
この場合、気にしなくていいと思いますよ。
(論述なら気にした方がいいかも知れませんが、4択ですから)

回答No.1

ymmasayan

少し判りにくい解説です。
要はＮ＋１がＮとみなせるくらいＤが大きいと言うことです。
つまりＮが１よりもかなり大きいと言うことですね。
Ｄを絡ませない説明の方がはるかに判りやすいと思うのですが。

お礼

早速のご解答ありがとうございます。
この解説は秀和システム出版の「基本情報技術者午前スーパー合格本2007年春」に掲載されていた解説をそのまま載せたものです。
このサイトで質問する前にもネット検索をしたのですが、このような解説をしているのはこの本だけでした。

ymmasayan様が文末で述べているDを絡ませない説明とはどのようなものでしょうか？
もしよろしければその説明を載せてくださるとありがたいです。