基本情報技術者

質問

基本情報技術者
平成１０年春問２より
次の式は、何進法で成立するか
1015/5=131
ア6　イ7　ウ8　エ9
解説に
“余りが0なのでn進法で成立すると仮定すれば
(1*n＾3+1*n+5)/5=1*n^2+3*n+1
1*n^3+1*n+5=(1*n^2+3*n+1)*5
1*n^3+1*n+5=5n^2+15n+5
n^3-5n^2-14n=0
n(n-7)(n+2)=0
と書いてありました。

２箇所分からない所あります。
n^3-5n^2-14n=0は、どうすればこうなるのか？

n(n-7)(n+2)=0にした方が計算しやすいのか？
n^3+2n^2-7n^2-14nと展開して、nに適当な値を代入して計算しています。
もう少し簡単に計算するように出来るのでしょうか？

回答No.1

ok-kaneto · ベストアンサー

(1)
1*n^3+1*n+5=5n^2+15n+5
↓
n^3-5n^2-14n=0
は移項ですね。等式(=を使った式)の場合、両辺に同じ数を足しても等式自体は成り立ったままです。で、方程式を解くにはどちらかの辺を0にすると簡単です。なので、どちらかの辺に項目をまとめるために移項します。
例えば、右辺に「5n^2」とあるのでこれを左辺に移項します。左辺に「-5n^2」を足せば、右辺のこの項目はなくなります。同様に、他の項目も移項します。

1*n^3+1*n+5=5n^2+15n+5
1*n^3+1*n+5-5n^2-15n-5=0
n^3-5n^2-14n=0

(2)
方程式の場合、片方の辺であれば解くのは簡単です。
n(n-7)(n+2)=0
の場合、「n」「n-7」「n+2」のどれかが0になるという事(0に何を掛けても0)です。
つまり、「n=0」「n-7=0」「n+2=0」を解けば良いのです。ですから、この場合は
「n=0」または「n=7」または「n=-2」です。で、n進数なのですから0が0より大きいことは明らか。なので、n=7が正解です。

(3)
もっと簡単にできる方法がありますよ。
1015/5=131
↓
1015=131*5

1の位・・・5=1*5(上位への桁上がりなし)
10の位・・・1=3*5(上位への桁上がりあり)
10進数で考えれば3*5=15なので、これをn進数で表した場合の数を考えます。
↑の式より、1の位が1にならなければなりません。

6進数・・・23
7進数・・・15
8進数・・・17
9進数・・・16

お礼

回答ありがとうございました。
↑の式より、1の位が1にならなければなりません。
の部分が分かりませんでした。宜しければ、補足をお願いします。

回答No.3

edomin7777

＃２です。

> 展開したのはn(n-7)(n+2)=0の式です。

だから、
1015/5=131
をn進法で表したものと同じになると言っているのですが…。
n進数1015を10進数に直すと、
1*n^3+0*n^2+1*n^1+5*n^0=n^3+n+5
n進数5を10進数で表すと、
5*n^0=5
n進数131を10進数で表すと
1*n^2+3*n^1+1*n^0=n^2+3n+1
この段階で10進数の計算です。
(n^3+n+5)/5=n^2+3n+1
n^3+n+5=5n^2+15n+5
n^3-5n^2-14n=0
この方程式が成り立つ時を考えるだけ。

お礼

どの式を展開しているのでしょう？と聞かれたので、n(n-7)(n+2)=0を展開してn^3+2n^2-7n^2-14nとしてnに適当な値を代入して計算していました。
No1での回答で、n(n-7)(n+2)=0で-7か2が0になる値を入れれば解が出て、わざわざ因数分解した物を展開すると言う、変な遠回りしていた事が分かりました。
追加で回答されたのは、1015/5=131をn進法で表す式はn^3-5n^2-14n=0だと私が理解していないと思われたからなのでしょうか？それでしたら、誤解を生んですいませんでした。

回答No.2

edomin7777

> n^3-5n^2-14n=0は、どうすればこうなるのか？
移項しただけ。
1*n^3+1*n+5=5n^2+15n+5
　↓
n^3+n+5=5n^2+15n+5
両辺から5を引いて
n^3+n=5n^2+15n
両辺から5n^2+15nを引いて
n^3-5n^2-15n+n=0
n^3-5n^2-14n=0

> n(n-7)(n+2)=0にした方が計算しやすいのか？
式が正しくなるのは、n=0,7,-2の時です。
nは進数を表しているので、n=0,-2は不適。
答えはn=7になります。

> n^3+2n^2-7n^2-14nと展開して、nに適当な値を代入して計算しています。
どの式を展開しているのでしょう？

お礼

展開したのはn(n-7)(n+2)=0の式です。回答ありがとうございました。