logを利用した計算問題について

質問

ゼロでない整数の10進数表示の桁数Dと
2進数表示の桁数Bとの関係を示した式は、どれか。

正解：D=B log10 2

このような計算問題があるのですが、
logを利用した計算問題は、どのように解けば良いのでしょうか。

下記の内容が分かりません。
「D=log10 2^4=4 log10 2=1.2」
「D=log10 2^16=16 log10 2=4.8」

「log」の計算式は、桁数を解く方法なのでしょうか。
上記に書いた問題の解き方を詳しく教えて下さい。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。

なんとなく、情報処理関係の問題かと思ったのですが・・・
必要なビット数（2進法でのケタ数）を見積もる目的かと。

＞2進法でB桁となる整数：Mは「2^(B-1)≦M＜2^B」とされていますが、
＞これに実数を当て嵌めて説明して頂けないでしょうか。
「実数を」というのは「実際の数字を」という意味ですよね。

10進法で、「ある整数：Nが Dケタである」ことを式で表すと 10^(D-1)≦ N＜ 10^D
というのは、
10^(D-1)＝ 100・・・(0が D-1個)・・・0
10^D＝ 100・・・(0が D個)・・・0
なので、この間にある数は Dケタということになります。

2進法でも、同じです。
2^(B-1)を 2進法で表すと、100・・・(0が B-1個)・・・0
2^Bを 2進法で表すと、100・・・(0が B個)・・・0
となるので、この間にある数は 2進法で Bケタということになります。

＞下記も同じになります。
＞(B-1)*log[10](2)≦log[10](M)＜B*log[10](2)
＞B*log[10](2)-log[10](2)≦log[10](M)＜B*log[10](2)

＞0＜log[10](2)＜1(値としては約 0.3)であるので、
＞B*log(2)-1＜B*log(2)-log(2)≦log(M)＜B*log(2)

計算を一つ一つ説明するのは、あまり好まないのですが・・・
・1行目から 2行目は、単に左辺の括弧を展開しただけです。
・最後の行は、log(2)≒ 0.3なので、
B*log(2)- log(2)≒ B*log(2)- 0.3＞ B*log(2)- 1
としているだけです。

logが入っていますが、計算自体は単純な変形しかしていません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
連絡が遅くなり、申し訳ありません。

当方なりに勉強したのですが、
分からない点が見付かりましたので、
出来ましたら、ご教授お願いします。

「D=B log10 2」が10を何乗すれば
2のB乗になるのか、ということは分かりました。

しかし下記の説明を理解することが出来ませんでした。

>B*log(2)-1＜B*log(2)-log(2)≦log(M)＜B*log(2)
ここの「B*log(2)-log(2)」をすると、どうなるのでしょう。

>B*log(2)-1＜B*log(2)-log(2)≦log(M)＜B*log(2)
ここの(M)には、何が入るのでしょうか。

>B*log(2)- log(2)≒ B*log(2)- 0.3＞ B*log(2)- 1
ここの(-0.3)は、どこから3を引くのでしょうか。

お手数お掛けして申し訳ありませんが、
お時間に余裕がありましたら、ご回答お願い致します。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.3

alice_44

おそらく、その選択肢は正解ではありません。
問題(特に、他の選択肢)と問題集の解説を
よく検討したほうがよいです。

D と B は、桁数ですから、自然数ですが、
log10 2 は、有理数ではありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

もっと「log」について勉強したいと思います。

以上、ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
いきなり logで考えようとするとややこしいので、
「ケタ」ということから考えてみます。
少し長くなりますけど、容赦ください。＾＾；

「ある整数：Nが Dケタである」ことを式で表すと
10^(D-1)≦ N＜ 10^D

となります。
さらに、常用対数（底を 10とした対数）をとれば
D-1≦ log[10](N)＜ D

となって、常用対数をとったときの(整数部分)＋１がケタ数を表すことになります。
（例：log[10](N)＝ 3.4であれば、4-1≦ 3.4＜ 4よりケタ数は 4ケタとなる。）

次に、2進法で同じようにケタを考えます。
2進法で Bケタとなる整数：Mは
2^(B-1)≦ M＜ 2^B

を満たします。
各辺、常用対数をとると、
(B-1)* log[10](2)≦ log[10](M)＜ B* log[10](2)
B* log[10](2)- log[10](2)≦ log[10](M)＜ B* log[10](2)

0＜ log[10](2)＜ 1（値としては、約 0.3）であるので、
B* log(2)- 1＜ B*log(2)- log(2)≦ log(M)＜ B* log(2)　（底の[10]を略しました）

つまり、B* log(2)- 1＜ log(M)＜ B* log(2)と表されるので、
D＝ B* log[10](2)となります。

＞下記の内容が分かりません。
＞「D=log10 2^4=4 log10 2=1.2」
＞「D=log10 2^16=16 log10 2=4.8」
D＝ 1.2であれば、整数部分＋１＝ 2ですから 10進法では 2ケタの数であり、
D＝ 4.8であれば同様にして 10進法で 5ケタの数であることがわかります。

＞「log」の計算式は、桁数を解く方法なのでしょうか。
そもそものケタ数は、指数を使って考えています。
その指数の計算をするために、対数「log」が現れてきます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

しかし2進数法で同じように桁数を出す方法の理解が出来ませんでした。
2進法でB桁となる整数：Mは「2^(B-1)≦M＜2^B」とされていますが、
これに実数を当て嵌めて説明して頂けないでしょうか。

下記も同じになります。
(B-1)*log[10](2)≦log[10](M)＜B*log[10](2)
B*log[10](2)-log[10](2)≦log[10](M)＜B*log[10](2)

0＜log[10](2)＜1(値としては約 0.3)であるので、
B*log(2)-1＜B*log(2)-log(2)≦log(M)＜B*log(2)

馬鹿で申し訳ありません。
1つ1つに解説を付けて説明して頂けると嬉しいです。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.1

alwen25

これは数学公式です。
教科書を見てください。
log10a^b=blog10a
書き方が変ですが10が底です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

もっと「log」について勉強したいと思います。

以上、ありがとうございました。