対数の変形の仕方を教えてください

質問

お世話になります、対数が元々苦手だったのですがもう一度覚えるため質問させて頂きます。

[問]
14けたの16進数の最大値は,10進数で表すと何けたか。ここで,log[10]2=0.301とする。

ア 15 イ 16 ウ 17 エ 18

[解説]
14けたの16進数の最大値は16^14-1であり、これが10進数でnけたとすると

(1)10^n-1≦16^14-1<10^n
常用対数をとってこのようになる
(2)n-1<14log[10]16≦n
(3)14log[10]16≦n<14log[10]16+1
(4)56log[10]2≦n<56log[10]2+1
(5)56×0.301≦n<56×0.301+1
(6)16.856≦n<17.856

したがってn=17
10進数で17けたで表せる。

[質問]
(1)～(2)の変換で
常用対数をとってこのようになる、との解説があるのですが
「常用対数をとって」の意味が理解できません、手前勝手な解釈で各辺に
log[10]掛けるという意味なら
(2)は
10^n-1→10log[10]n-1
16^14-1→14log[10]16
10^n→10log[10]n
となり、このようになると思うのですが
(2)10log[10]n-1<14log[10]16≦10log[10]n
恐らく基本的な対数の変形式が理解できていないためだとおもいます
(1)～(2)の変形の理由を馬鹿でも分かるようにご教授お願いいたします。

回答No.4

debut · ベストアンサー

No1です。
対数をとる方式で、もし 16^14-1 の部分の対数を
とると、log[10](16^14-1) となって、この部分の
これ以上の変形ができなくなってしまいます。
そこで、例えば
10^2≦Ａ＜10^3とあったとき(説明を簡単にするため
Ａを整数としますが)、これを満たすＡは100～999まで
ですが、Ａに１を加えると、それは101～1000になるから
10^2＜Ａ＋１≦10^3のように等号の場所を変えて表す
ことができます。
このことを使って、10^(n-1)≦16^14-1＜10^n は、16^14-1
に１を加えて、10^(n-1)＜16^14≦10^nとすることで、指数
部分をうまく使えるようにできるのです。

お礼

debutさん、とことん最後までご教授していただき大変ありがとうございました。
完全に理解できました。
お蔭様で3日間頭につかえていたモヤモヤが一気に晴れました、とても嬉しいです。

回答No.3

toku130

１４桁の１６進数とは、３桁の１０進数を考えると、
１の位（１桁）　１０の０乗　
１０桁　　　　　１０の１乗
１００桁　　　　１０の３乗です。桁数と指数が、１ずつちがいます。

だから、１４桁の１６進数とは・・・１６の１４－１乗です。

これを１０進数であらわす時、その桁数をｎとすれば、
１６の１４－１乗が収まる範囲は、10^n-1 から10^nですね。

これを不等式で表せば、「解説」（１）となります。

（１）式を常用対数（底が１０）で表すと、
log[10]10^n-1≦log[10}16^14-1＜log[10]10^n　となります。
これから、指数部をlogの前に出して、log[10]10=1　だから、
整理してn-1<14log[10]16<≦n よってｎの範囲は
中央から右の式で、14log{10}16≦ｎ<14log[10]16 +1 (この１は真数ではない）
log[10]2=0.301 log[10]16=log[10]2^4=4log[10]2=4x0.301
これを上の式に代入すれば　　ｎ＝１７です。

お礼

toku130さん
ご教授あるがとうございました、常用対数の説明良く理解できました。

回答No.2

postro

「常用対数をとる」とは、log[10]を掛けるという意味ではありません。
aの常用対数をとるとは「aは10の何乗か」を求めることです。（a＞0でなくてはなりません)
実際は機械的にaにlog[10]をくっつけてやればよいのです。つまり、
log[10]a ←これが「aは10の何乗か」を表す数です。
具体的な話では、aが100の場合、「100はaの何乗か」を求めるのに、log[10]をくっつけて
log[10]100 =2 ←これが「100は10の2乗」ということを表しています。
ちょっとした応用。a（a＞0)は2の何乗か求めるにはlog[2]をくっつければよい。つまり
log[2]a ←これが「aは2の何乗か」を表す数です。

お礼

postroさん
お世話になりました、「常用対数をとる」の意味が良く理解できました、ありがとうございました。

回答No.1

debut

ａ，ｂが正の数で、ａ＝ｂのとき、
log[10]ａ＝log[10]ｂ
のようにするとき、「対数をとる」といいます。
[ ]を10としましたが、１でない正の数なら何でも
いいです。
不等式でも、ａ＜ｂとあれば、log[10]ａ＜log[10]ｂ
とできます。（ただ、このときは、[ ]の中の数が
０より大きく１より小さいときは、不等号の向きが
変わることに注意です。今回は関係ないですが・・）

結局、「対数をとる」といっても、ただ機械的に、
10^n＜16^14 とあれば、ぞれぞれの左側にlog[10]を
くっつけて、log[10]10^n＜log[10]16^4 とすれば
いいだけです。
だから、log[10]を掛ける(？)という意味(？)では
ありません。というか、log[10]を掛けるという
言い方自体ないと思います。

さて、問題では、(1)から(2)に移る前に、16^4-1の
-1をなくすために、10^(n-1)≦16^14-1＜16^14≦10^n
という変形をやっていると思われます。
そして、10^(n-1)＜16^14≦10^n で対数をとると、
log[10]10^(n-1)＜log[10]16^14≦log[10]10^n
さらに、logＭ^r=rlogＭ となる性質から、
(n-1)log[10]10＜14log[10]16≦nlog[10]10 で
n-1＜14log[10]16≦n　と、(2)の式ができます。

補足

postroさん、debutさん
お世話になります、「常用対数をとる」の意味が、なんとなく理解できました、
単純にlog[10]を各辺に付与することで、この場合log[10]10=1なので各辺の
符号の向きも変わらないものと理解しました。しかし次の疑問が沸きましたそれは、

10^n-1≦16^14-1<10^n
は
n-1＜14log[10]16≦n
こうではなく
n-1≦14log[10]16-1<n
このようになるのではないかと思うのですが？

debutさんの解説で
>-1をなくすために、10^(n-1)≦16^14-1＜16^14≦10^n
>という変形をやっていると思われます。

ここでなぜ-1を削除（変形）できたのか。また、不等号の大きさが変わって
しまったのかが分からなくなってきました。
もう少しで理解できそうです何卒宜しくお願いいたします。