3次関数に関して

質問

f(x) = x^3 + 3px + 3q
の関数が増加関数であるための必要十分条件をpを使ってあらわすときは、

f'(x) = 3x^2 + 3p　≧ 0 から

0 - 4*3*3p　≦ 0　←(1)
-36p ≦ 0

よって p ≧ 0

でいいんでしょうか？とすると、なぜ、判別式を持ち出して
(1)のような不等式を立てるのでしょうか？

よろしくお願いします。

ちなみに、極値を持つための必要十分条件をpを用いてあらわす場合のヒントをいただけるとありがたいです。

回答No.1

incd · ベストアンサー

＞＞なぜ、判別式を持ち出して
(1)のような不等式を立てるのでしょうか？

3x^2 + 3p　≧ 0
が常に（xがいくつであっても）成り立つための条件です。
判別式がゼロ以下である、ということは
3x^2 + 3p = 0　という方程式の解が
１：重解である
２：存在しない
のいずれかということです。
x^2の係数が正なので、これは下に凸の２次関数ですから、
y =3x^2 + 3p　のグラフは負の数を取らないことが分かります。
つまり、3x^2 + 3p　≧ 0 です。

＞＞ちなみに、極値を持つための必要十分条件をpを用いてあらわす場合のヒントをいただけるとありがたいです。
極地であるための必要条件は１次導関数がゼロなので
3x^2 + 3p = 0 が解を持つ必要がある。　
これは、判別式が非負のときだから、
p≦0.

十分条件は、２次導関数が正（極小値）か負（極大値）であること（つまりはゼロでない）こと。
これは、まず
3x^2 + 3p = 0　を解いて
x = √(-p)
という極地候補を求めておく。
２次導関数は
6x
これが極地候補でゼロにならないためにはpがゼロでなければいい。

したがって、
p>0が必要十分条件になります。