関数f(x)=(sinx)^3は極値をもつか。

質問

数3の学習をしています。
関数f(x)=(sinx)^3は極値をもつか。
という問題についてです。

模範解答には、f'(0)=0 , f''(0)=0であることを示してかつ、
x=0の前後でf'(x)の符号が変わらないことも示して、
x=0で極値をもたない、という結論になっています。

そこで質問なんですが、x=0の前後でf'(x)の符号が変わらないことを示す必要があるのはどうしてでしょうか。
f'(0)=0 , f''(0)=0である時点で、x=0で極値をもつことはないと思うのですが…。
この間数に限らず、f'(0)=0 , f''(0)=0なのに、x=0で極値をもつ場合って、どんな場合なんでしょう？

よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞この間数に限らず、f'(0)=0 , f''(0)=0なのに、x=0で極値をもつ場合って、どんな場合なんでしょう？

ｆ（ｘ）＝　ｘ^4
が、その例です。

ご参考になりましたら。

お礼

本当ですね、参考になりました。
微分可能で極値があれば常にf''(a)≠0かと思い込んでしまってました。
頭がこんがらがりそうですが理解できました。
ありがとうございました。

回答No.6

arrysthmia

＞ ところで、0 = f ' (x) = 3 (sin x)^2 (cos x) なのですが、
＞ cos x = 0 となる x についても、考察はしたのでしょうか？

質問者さんからの補足より前に、ヒントを利用してくれた方がある
ようです。 結果については、No.4 を御参照下さい。
老婆心ながら… 重要なのは、「答え」よりも、それを導く考え方
ですよ。

回答No.5

owata-www

＃２ですが、よくよく考えればf(x)=x^2は満たしませんでした (汗

すいません

回答No.4

info22

>f(x)=(sinx)^3は極値をもつか。
x=(π/2)±2nπで極大値
x=-(π/2)±2nπで極小値
(n=0,1,2,3, ...)
を持ちます。

模範解答のx=0では極値を持たないことは合っています。

>x=0の前後でf'(x)の符号が変わらない
>ことを示す必要があるのはどうしてでしょうか。
f'(0)=0 , f''(0)=0であることだけでは、
極値を持たない場合と持つ場合があるからです。
f(x)=ax^3+b, ax^5+b, ax^7+b, a(sinx)^5+b, a(tanx)^3+b (a≠0) など…　x=0で極値を持たない。
f(x)=ax4+b, ax^6+b, ax^8+b, a(cosx)^4+b, a(sinx)^6+b (a≠0)　など …　x=0で極値を持つ。

補足

すいません、問題文を写し間違えていました…。
x=0で極値を持つか問われていたものでした。
お手数おかけしてしまいすみません；

f'(0)=0 , f''(0)=0だからといって極値をもたないとは限らないということですね。
ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

＞ 模範解答には、f'(0)=0 , f''(0)=0であることを示してかつ、
＞ x=0の前後でf'(x)の符号が変わらないことも示して、

無駄です。
f が全実数上で微分可能なら、f ' (x)=0 となる各 x の前後で
f ' (x)　の符号が変わらないことを示すだけで、極値を持たない
と結論できます。f '' (x)=0 かどうか、考える必要はありません。

ところで、0 = f ' (x) = 3 (sin x)^2 (cos x) なのですが、
cos x = 0 となる x についても、考察はしたのでしょうか？

お礼

確かにf'(0)=0ならばf''(x)の符号の変化を調べるだけで問題ないですよね。

＞ところで、0 = f ' (x) = 3 (sin x)^2 (cos x) なのですが、
＞cos x = 0 となる x についても、考察はしたのでしょうか？

すいません、問題文を写し間違えていました…。
x=0で極値を持つか問われていたものでした。
お手数おかけしてしまいすみません；

ありがとうございました。

回答No.2

owata-www

そもそも
＞f'(0)=0 , f''(0)=0である時点で、x=0で極値をもつことはない
と思うのはなぜでしょう？

f(0)=0、f'(0)=0でx=0の前後でf'(x)の符号が変われば極値を持ちます

＃１さんの例のF(x)=x^4ではそうなります、他にも無数にありますf(x)=x^2なんて典型ですね

補足

f'(0)=0 , f''(0)=0でも極値を持つ場合があるんですね。
ありがとうございました。