数学Aの問題

質問

整数の性質に関する問題です。下記の問題の解答と解説もお願いします。

1, 方程式 xy-x-y=0 の整数解をすべて

2, 方程式 3x-5y=1 を満たす整数 x,y の組をすべて

回答No.3

info222_

1
xy-x-y=0
(x-1)(y-1)=1
x-1=1,y-1=1 → x=y=2
または
x-1=-1,y-1=-1 → x=0, y=0
(答) (x,y)=(2,2), (0,0)

2
3x-5y=1 より
3x=5y+1 → x=y+(2y+1)/3　... (1)
x,yは整数だから　(2y+1)/3も整数 → 2y+1=3n → 2y=3n-1
y=n+(n-1)/2 ...(2)
y,nは整数だから (n-1)/2も整数
n-1=2m → n=2m+1 ...(3)
(2)に代入　→ y=2m+1+m=3m+1 ... (4)
(1)に代入 → x=3m+1+(2m+1)=5m+2 ...(5)
(4),(5)から
(答) (x,y)=(5m+2, 3m+1) (mは整数)

回答No.2

asuncion

1)
xy - x - y = 0
x(y - 1) - (y - 1) = 1
(x - 1)(y - 1) = 1
このことから、
x - 1 = 1 かつ y - 1 = 1 ... (1)
または
x - 1 = -1 かつ y - 1 = -1 ... (2)
(1)より、x = 2, y = 2
(2)より、x = 0, y = 0

2)
3x - 5y = 1 ... (1)
x = 2, y = 1は与式を満たす。
3・2 - 5・1 = 1 ... (2)
(1) - (2)より、
3(x - 2) - 5(y - 1) = 0
3(x - 2) = 5(y - 1) ... (3)
ここで、3と5は互いに素だから、
x - 2は5の倍数である。よって、kを整数として、
x - 2 = 5k ... (4)と表わせる。これを(3)に代入して、
3・5k = 5(y - 1)
3k = y - 1 ... (5)
(4)と(5)から、kを整数として、(x, y) = (5k + 2, 3k + 1)

回答No.1

shintaro-2

>1, 方程式 xy-x-y=0 の整数解をすべて

変形すると
y=x/(x-1)
x≠１
幾つか数字を入れてみれば、わかるでしょ

>2, 方程式 3x-5y=1 を満たす整数 x,y の組をすべて

変形すると
ｙ＝-1+3/5ｘ
方眼紙にグラフを書いたときに、
升目の交点を通る部分が答え
つまり、ｘが５の倍数の時
これは無限にあるので、
X=5n（ｎは整数）として、ｙもｎの式で書くのでは