数学：不定方程式の解き方を教えてください。

質問

不定方程式を満たす整数の組(x,y)を求めよ。

　x^2-y^2+x+5y=-4

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

(x+y-2)(x-y+3)=-10
と変形。かけて-10になる整数の組は？

お礼

この因数分解が解けなかったんです。恐縮です。
答えはx,ｙ=(-5,8),(4,3)(-2,6)(-2,-1)となりました。

回答No.2

spring135

x^2-y^2+x+5y=-4

x^2+x-(y^2-5y-4)=0

x(x+1)-[(y-2)(y-3)-10]=0 (1)

xとx+1,y-2とy-3の組み合わせを考える。

今

z=[x-(y-2)][x+1+(y-3)]

とすると

z=x(x+1)-(y-2)(y-3)-x-y+2

よって

x(x+1)-(y-2)(y-3)=z+x+y-2

(1)は

z+x+y-2+10=0 (2)

p=x-y+2　　　　　(3)
q=x+y-2　　　　　(4)

とおくと

z=pq

x=(p+q)/2　　　　(5)
y=2-(p-q)/2　　　(6)

(2)は

pq+q+10=0

q(p+1)=-10　　　　(7)

x,yが整数のとき(3),(4)よりp,qも整数。

よって(7)の解は

q=10, p+1=-1

q=5, p+1=-2

q=2, p+1=-5

q=1, p+1=-10

q=-1, p+1=10

q=-2, p+1=5

q=-5, p+1=2

q=-10, p+1=1

の8つの場合だけである。

これらを(5),(6)へ代入してx,yを求めればよい。

たとえば(x,y)は

(1,6),((4,-3)などなど

これらを最初の式へ代入して条件を満たしていることを確認すること。

お礼

回答ありがとうございました。
理解が追いつきません。もう少し時間をかけて考えて見ます。