一次不定方程式の解について質問

質問

問：次の方程式の整数解をすべて求めよ。
２ｘ－５ｙ＝１

答：ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1 （ｋは整数とする）

ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1になるのは理解できたのですが

ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1は間違いなのですか？
（ｘ＝-2,ｙ＝-1を整数解の一つであると考えた場合）

教えて下さい
お願いします

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

> 答：ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1 （ｋは整数とする）

と書く代わりに
　　答1：ｘ＝ 5j+3,ｙ＝ 2j+1 （jは整数とする）
でも同じですよね。
　一方、
　　答2：ｘ＝ 5ｋ-2,ｙ＝ 2ｋ-1　(kは整数とする）
と書くのと
　　答2'：ｘ＝ 5ｋ-2,ｙ＝ 2ｋ-1　(k-1は整数とする）
と書くのも同じであり、
　　j = k-1
と書く事にして答2'のkを消去すれば
　　答2''：ｘ＝ 5(j+1)-2,ｙ＝ 2(j+1)-1　(jは整数とする）
すなわち
　　答2'''：ｘ＝ 5j+3,ｙ＝ 2j+1　(jは整数とする）
これは答1と全く同じ。
　ってことは、答2は最初の答と同じ。

回答No.4

tsuyoshi2004

ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1 （ｋは整数とする）にk=j-1を代入すれば、

x=5(j-1)+3=5j-2
y=2(j-1)+1=2j-1
です。
jが整数ならば、j-1=kも整数なので

ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1（ｋは整数とする）も正解です。

余談ですが、この問題では全ての整数解を求めていますが、
もしもx>0の整数解などとなっていれば、当然
ｘ＝5ｋ+3,ｙ＝2ｋ+1
と
ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1
では、kの範囲が変ってきますので、注意が必要です。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

178-tall

#1 さんのコメントに尽きるが…。

>ｘ＝5ｋ-2,ｙ＝2ｋ-1は間違いなのですか？
　　　↓
>２ｘ－５ｙ＝１
へ代入してみると OK みたい。
「間違い」ではなかろう。

>（ｘ＝-2,ｙ＝-1を整数解の一つであると考えた場合）
　　　↓
>２ｘ－５ｙ＝１
「互除法」で、
　2(x - 2y) - y = 1
と変形して、一つの特解　x - 2y = 0, y = -1　を得るのがふつうらしい。
つまり、これはこれで OK 。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

結果的に同じ集合になれば OK.

補足

ホントに馬鹿すぎて恥ずかしいのですが・・・

集合というのは？