円に内接する三角形の面積

質問

下記の質問に答えようと考えたのですが結局わかりませんでした。
回答が締め切られたので質問者さんは納得したのだと思いますが、私はどうしても気になりまして・・・
回答お願いします。

QNo.3843295 わかりません
質問者：yoshi456 高校2年生のものです。
ある問題集に以下のようなものがありました。

直角三角形に半径r の円が内接していて，三角形の3 辺の長さの和と円の直径との和が2となっている．このとき以下の問に答えよ．
(1) この三角形の斜辺の長さをr で表せ．
(2)　r の値が問題の条件を満たしながら変化するとき，この三角形の面積の最大値を求めよ．

(1)は図形を描いたらまんまで2rでした。
問題は(2)でまず条件より、4r^2=a^2+b^2 , a+b+2r+2r=2
後の式を2乗して最初の式を引いて整理すると,ab/2=3r^2-4r+1と出てきます。
あとはrの範囲を求めればいいのでしょうが、わかりません。
和が2という条件を使うんでしょうか・・・
どなたか教えてください。

以上が当初の質問です。

ちなみに
4r^2=a^2+b^2・・・(1)
a+b+2r+2r=2・・・(2)
の条件下でab/2の最大値を求めると思うのですが、

とりあえず、問題より0＜r＜1/2・・・(3)

(2)の2乗－(2)×8をすると
2ab-16r^2=4-16rより
ab/2=8r^2-8r+2=2(2r-1)^2・・・(4)

(1)式より
(a+b)^2-2ab=4r^2より
ab/2=〔(a+b)^2-4r^2〕/4
これに(2)よりa+b=2-4rを代入して
ab/2=(3r-1)(r-1)/4・・・(5)

でも、(4)にしても(5)にしてもr=0のときに最大になるんですよね。
やっぱり三角関数使わないと解けないのでしょうか？それとも条件不足で解けないんでしょうか？回答お願いします。

回答No.7

age_momo · ベストアンサー

三角形の面積は内接円の半径rを使うと

1/2*(a+b+c)r

題意から

a+b+c+2r=2　⇒　a+b+c=2(1-r)

よって

S=r(1-r)=-(r-1/2)^2+1/4

だと思います。

お礼

すばらしい回答をありがとうございます。
こうやって考えてみると問題文でわざわざ斜辺を求めさせた意味がよくわかります。そこに気づけば・・・まあ、円に内接すると勘違いしてたわけですから結局解けなかったかも知れませんけど。

ようやく納得できました。これで安心して自分の勉強に戻れます。
今度こそ大丈夫ですね。

回答No.12

Meowth

問題を完全にかえて
外接円の場合、
ｒの円に外接して
辺の和と直径の和が２の場合
斜辺は当然２ｒ
他の2辺a,bとして
a+b=2-4r
rを固定すると、
直角の頂点は、斜辺の中点Mを中心とする半径ｒの円周上にあり
かつ
斜辺の両端を焦点とし、長半径1-2r　　短半径　√(1-r)(1-3r)
の楕円上にある。
ｒの条件は、短半径＞０　かつ　短半径<r
から
(2-√2)/2≦r≦１/3
の条件がつく
頂点の位置は楕円と円の交点で
このとき
a^2+b^2=4r^2
a+b=2-4r
がなりたつから
S=ab/2={(2-4r)^2-4r^2}/4
=(1-r)(1-3r)
Sが最大となるのは、
r=(2-√2)/2
のとき（a=bで楕円が円に接するとき）
で、
S=(3-2√2-3)/2
[a=b=√2-1]

お礼

回答ありがとうございます。しかも、私が勘違いしていたほうの解き方を。これですっきりしました。結局45度の直角三角形だったんですね。当初のイメージ通りとはいえ、これはこれでなんか悔しいものですね。

回答No.11

tama1978

（問１）の解が2rは、確かにおかしいですね。
直角三角形の斜辺は、外接円の直径になるから2rだと内接円と外接円が同じになりますね。

問1から考えてみます。

補足

すみません。私は円に内接すると勘違いして計算してたみたいです。
今から計算し直してみます。
とりあえず、問１から考えてみます。

ちなみにちょっと出先で考えていたのですが、
円に内接すると考えた場合
0＜r＜1/2・・・(3)がおかしいのだと気づきました。
直角三角形で斜辺を固定して残りの２辺の和が最大となるのは
二等辺三角形なので３辺の長さはそれぞれ√2r、√2r、2r
これを
a+b+2r+2r=2・・・(2)
に代入して
√2r+√2r+2r+2r=2
r=2/(4+2√2)=(2-√2)/2
よってrの範囲は
(2-√2)/2≦r＜1/2

でr=(2-√2)/2を
ab/2=(3r-1)(r-1)/4・・・(5)
に代入して
ab/2=3/8+7√2/8

で答えが出るのでしょうか？

回答No.10

Meowth

まえの答えをみていないひとがいるようなので、

まえの問題のこたえのこぴぺ
(2)は　底辺の長さをｒ＋ｘ　ｒ＋ｙとすると、
斜辺はｘ＋ｙ
S=1/2(r+x)(r+y)
x+y=1-2r
rを固定して、
1+dy/dx=0
dy/dx=-1
dS/dx=1/2{(r+y)+(r+x)dy/dx}
=1/2{(r+y)+(r+x)dy/dx}
=1/2{(r+y)-(r+x)}
=1/2{y-x}
dS/dx=0となるのは、ｘ＝ｙ
x=y=(1-2r)/2
S=1/2(r+(1-2r)/2)^2=1/8
（以上）

微分が理解できないなら
相加相乗平均で
S=1/2(r+x)(r+y)
x+y=1-2r
(x+r)+(y+r)=1
(r+x)(r+y)≦{(x+r)+(y+r)}/4≦1/4
S≦1/8
等号がなりたつのは
r+x=r+y x=yのとき

回答No.9

Meowth

前の質問は前の質問で完結している
前提がまちがっているのだから
後半の問題はまえの質問とは無関係

（１）（２）の解は　ｒ＝０で最大
三角形とは関係ない

回答No.8

age_momo

ついでに

斜辺が2rという答えは内接円と外接円を
間違えているだけだと思います。円が内接しているんですよね。

回答No.6

egarashi

書き間違えた!
0<r<1/2だから2.の答えはおかしいと思うが、円が内接しているから、「斜辺」は2rではないはず。円に三角形が内接しているのであれば、ABが直径になるので2rだが…

回答No.5

egarashi

直角三角形ABC(∠C=90°)に半径rの円Oが内接しているとし、OからBCに下ろした垂線の足をD、OからCAに下ろした垂線の足をE、OからABに下ろした垂線の足をFとする。また、AE=AF=a、BD=BF=bとする。
1.
CD=CE=rより、周の長さは、2a+2b+2rであり、直径は2rなので、
2a+2b+2r+2r=2
よって、斜辺AB=a+b=2-4r=2(1-2r)…(1)

2.
三平方の定理より、
AC^2+BC^2=AB^2
∴(a+r)^2+(b+r)^2=(a+b)^2
∴a^2+2ar+r^2+b^2+2br+r^2=a^2+2ab+b^2
∴2(a+b)r+r^2=2ab
∴ab=r^2+(a+b)r
=r^2+(1-2r)r(∵(1))
=-r^2+r…(2)
求める面積をSとすると、
S=1/2×(a+r)(b+r)
=1/2{ab+(a+b)r+r^2}
=1/2(-r^2+r+r-2r^2+r^2)
=1/2(-2r^2+2r)
=-(r^2-r)
=-(r-1/2)^2+1/4
よってr=1/2のとき、Sは最大値1/4をとる。

0<r<1/2だから2.の答えはおかしいと思うが、円が内接しているから、半径は2rではないはず。円に三角形が内接しているのであれば、ABが直径になるので2rだが…

回答No.4

tama1978

#2です。私が変な間違いしましたね
S=1/2*(6r-2)(r-1)
が最大なんですね。

補足

ということは、
r=1/3のときは最小値を取るということですよね。

とすると逆にｒが０に近づくほど面積は最大ということでしょうか・・・円も三角形も消えてしまいますね・・・

やっぱり条件不足なんでしょうか？

回答No.3

tama1978

#2です。
ちなみに三角形の面積は、
S=1/2*ab
なので、代入してあげると
S=1/6
になるのかな？

お礼

すみません。確かに
ab/2=(3r-1)(r-1)/4・・・(5)
から答えが出ますね。
ちょっと勘違いしてたみたいです。
だから質問者さんは、回答を締め切ったんですね。納得。

こういう問題は45度の直角三角形が解答になるという思い込みがありまして、しかもこの式のみでは答えが出ないという思い込みもありまして、見逃してたみたいです。この問題に結局2時間くらいかかりました。ちょっと間抜けでしたね。まあ、楽しい時間でしたけど・・・。これでやっと自分の勉強に戻れそうです。ありがとうございました。

ちなみに(2)の2乗－(2)×8は、“ab=”の形になりましたけど、この式のみで答えが出るわけが無いですね。

補足

ANo.４を読んでから気づきましたけど・・・

すみません。私もなんか納得してましたけど、違いますね・・・

0＜r＜1/2・・・(3)
かつab/2が最大なので、
ab/2=-dr^2+er+fの形にならないと解が出ないですよね。
やっぱり三角関数なんでしょうか？

回答No.2

tama1978

＞問題は(2)でまず条件より、4r^2=a^2+b^2 , a+b+2r+2r=2
＞後の式を2乗して最初の式を引いて整理すると,ab/2=3r^2-4r+1と出てきます。

ここの計算しますね。
4r^2=a^2+b^2 ...(1)
a+b+4r=2 .....(2)

(2)式は、
(a+b)^2=(2-4r)^2
a^2+b^2+2ab=16r^2-16r+4
(1)式を代入すると
4r^2+2ab=16r^2-16r+4
2ab=12r^2-16r+4
ab=6r~2-8r+2
因数分解すると
ab=(6r-2)(r-1)
r=1/3,1

＞問題より0＜r＜1/2・・・(3)
ということから、
r=1/3が最大になるのでは、ないでしょうか。

間違っていたらすみません。