内接四角形の面積

質問

「円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいてＡＢ＝８、ＢＣ＝５、∠Ｂ＝６０°とする。この四角形の面積が最大となるとき、ＡＤおよび面積をもとめよ」という問題がわかりません。
解き方の方向性だけでも教えてもらえるとありがたいです。

回答No.3

debut · ベストアンサー

△ＡＢＣ の面積は決まっているので、△ＡＣ Ｄの面積を
考えればいいです。
△ＡＣ Ｄの面積の最大は、ＡＣ を底辺とみれば、高さが
最大になる場合であるということになって、そのような
ところにＤがあればよいとわかります。
そして、それはどこかといえば、ＡＣ に平行な直線が円と
接する場所（当然、四角形はＡＢＣ Ｄなので、ＡＣ について
Ｂと反対側ですが）であり、Ａとその接点Ｄを結ぶ直線と
接線でできる角Ｘの∠Ｃ ＡＤとの同位角、および角Ｘの
対頂角による接弦定理から、∠ＤＡＣ ＝∠ＤＣ Ａとなる
場所とわかります。あとは、ＡＣ を求めて１：２：√３
でやってもいいし、△ＡＢＣ の外接円の半径から求めても
いいし、いろいろ。

お礼

詳しい解説ありがとうございました♪
余弦定理や正弦定理のことばかり考えてしまい思いつきませんでした。
とても助かりました！

回答No.2

take_5

余弦定理からＡＣの長さが求まる。四角形ＡＢＣＤが円に内接するから、∠Ｄの大きさもわかる。
そこで、ＡＤ＝x、ＣＤ＝yとすると余弦定理からxとyの関係式が出る。
四角形の面積＝△ＡＢＣ＋△ＡＤＣをxとyであらわすと、先に出した関係式と連立させて最大値が出る。

実際の計算は自分でやりなさい。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

koko_u_

>解き方の方向性だけでも教えてもらえるとありがたいです。
三角形ABCは固定されてしまっているので、面白くもなんともない問題であることに注意すればよい。

お礼

回答ありがとうございました