円に内接する三角形の面積

質問

下記の質問に答えようと考えたのですが結局わかりませんでした。
回答が締め切られたので質問者さんは納得したのだと思いますが、私はどうしても気になりまして・・・
回答お願いします。

QNo.3843295 わかりません
質問者：yoshi456 高校2年生のものです。
ある問題集に以下のようなものがありました。

直角三角形に半径r の円が内接していて，三角形の3 辺の長さの和と円の直径との和が2となっている．このとき以下の問に答えよ．
(1) この三角形の斜辺の長さをr で表せ．
(2)　r の値が問題の条件を満たしながら変化するとき，この三角形の面積の最大値を求めよ．

(1)は図形を描いたらまんまで2rでした。
問題は(2)でまず条件より、4r^2=a^2+b^2 , a+b+2r+2r=2
後の式を2乗して最初の式を引いて整理すると,ab/2=3r^2-4r+1と出てきます。
あとはrの範囲を求めればいいのでしょうが、わかりません。
和が2という条件を使うんでしょうか・・・
どなたか教えてください。

以上が当初の質問です。

ちなみに
4r^2=a^2+b^2・・・(1)
a+b+2r+2r=2・・・(2)
の条件下でab/2の最大値を求めると思うのですが、

とりあえず、問題より0＜r＜1/2・・・(3)

(2)の2乗－(2)×8をすると
2ab-16r^2=4-16rより
ab/2=8r^2-8r+2=2(2r-1)^2・・・(4)

(1)式より
(a+b)^2-2ab=4r^2より
ab/2=〔(a+b)^2-4r^2〕/4
これに(2)よりa+b=2-4rを代入して
ab/2=(3r-1)(r-1)/4・・・(5)

でも、(4)にしても(5)にしてもr=0のときに最大になるんですよね。
やっぱり三角関数使わないと解けないのでしょうか？それとも条件不足で解けないんでしょうか？回答お願いします。

回答No.7

age_momo · ベストアンサー

三角形の面積は内接円の半径rを使うと

1/2*(a+b+c)r

題意から

a+b+c+2r=2　⇒　a+b+c=2(1-r)

よって

S=r(1-r)=-(r-1/2)^2+1/4

だと思います。

お礼

すばらしい回答をありがとうございます。
こうやって考えてみると問題文でわざわざ斜辺を求めさせた意味がよくわかります。そこに気づけば・・・まあ、円に内接すると勘違いしてたわけですから結局解けなかったかも知れませんけど。

ようやく納得できました。これで安心して自分の勉強に戻れます。
今度こそ大丈夫ですね。

回答No.1

Meowth

前半とは無関係に
（１）、（２）なら

(2)の2乗－(2)×8
は意味不明
ab/2=(3r-1)(r-1)/4
は正解

r=0のときに最大になるんですよ

なにが問題なのでしょうか。

お礼

r=0のときに斜辺が０になるので三角形はできなくなりますよね・・・