改 これを証明したいのですが

質問

下の質問内容を間違えましたので、改めて質問します。

ab/(a+b)^2
分母；(a+b)の２乗
分子；ab

これを"最大"とする条件を考えています。
a=bのとき与式が最大となると思うのですが、これをどうにかして
証明したいです。いいアプローチがありましたら教えてください。

回答No.3

noname#52504 · ベストアンサー

「相加平均と相乗平均の関係」を既知とすればほぼ自明ですが、
厳密に証明しようとするとa,bの符号を検討するのが面倒ですね。

１．aまたはbが0のとき、与式=0を示す。
２．a,bが異符号のとき、与式<0を示し、
　　１を踏まえ最大値となりえないことを示す。
３．a,bが同符号のとき、f(a,b)=f(-a,-b)を示し、
　　a,bがともに正であるとしても一般性を失わないことを示す。
４．やっと相加・相乗平均を使える。

というわけで、いっそ地味に式変形でどうですか。

ab/(a+b)^2
＝ 4ab / (4(a+b)^2)
＝ ((a+b)^2-(a-b)^2) / (4(a+b)^2)
＝ 1/4 - (a-b)^2 / (4(a+b)^2)
＝ 1/4 - ( (a-b) / (2(a+b)) )^2
≦ 1/4

与式が最大値を1/4をとるのは、
( (a-b) / (2(a+b)) )^2
が最小値0をとるとき、そして、そのときのみ。
すなわち、a=bのとき、そして、そのときのみ。■

あるいは「解と係数の関係」を使う手もあります。

a,bを解とする二次方程式
x^2 - (a+b)x + ab = 0
について、実数解が存在するためには、
判別式D = (a+b)^2-4ab ≧ 0
∴ab/(a+b)^2 ≦ 1/4

一方、ab/(a+b)^2　が　最大値 1/4 をとるとき、
判別式D = 0
よって、a=b　■

以上ご参考まで。

お礼

そういえば相加相乗にもいろいろと条件がついていましたね。
詳しい回答ありがとうございます。

回答No.4

noname#57316

a+b=t とおくと
a(t-a)/t^2=(a/t)-(a/t)^2=-{(a/t)-(1/2)}^2+(1/4)
(a/t) を変数と見た時に描く放物線が最大値を取るのは
a/t=1/2、つまり、a=b の時である。

お礼

こうしてみると分かりやすいですね。ありがとうございます。

回答No.2

abyss-sym

ab/(a+b)^2=k とします。
ab/(a+b)^2=ab/(a^2+2ab+b^2)=1/(a/b+2+b/a)=k
a/b=t とすると,b/a=1/t
よって,k=1/(t+2+1/t)
これを整理して,kt^2+(2k-1)t+k=0
このとき,判別式 D≧0 でなければならない。
(→D≧0でなければtが存在しなくなり,同時にa,bも求められない)
D=(2k-1)^2-4k^2=-4k+1≧0 したがって,k≦1/4
よって,ab/(a+b)^2≦1/4 最大値は1/4 となります。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

ILOVMIKI39

相加平均相乗平均の不等式より

(a+b)/2≧(ab)^(1/2)
両辺を２乗して
(a+b)^2/4≧ab
両辺を(a+b)^2で除して
1/4≧ab/(a+b)^2
これにより与えられた式の最大値は1/4となる。
与えられた式が最大値になるには
1/4=ab/(a+b)^2
(a+b)^2/4=ab
(a+b)^2=4ab
(a+b)^2-4ab=0
(a-b)^2=0
∴a=b

お礼

相加相乗ですか。思いつきませんでした。
回答ありがとうございました。