積分の面積の最大値

質問

放物線Ｃ：ｙ＝ｘ２乗上の点Ａ(ａ，ａ2乗），Ｂ(b，b２乗）をとる。
ただし、ｂ＜0＜ａとする。
△ＯＡＢの面積をＴとするとき、Ｔ／Ｓがとりうる値の最大値を
求めよ。ただし、Ｏは原点である。
Ｓは放物線Ｃと直線ＡＢで囲まれる部分の面積です。

さきほどは申し訳ありませんでした。
ご指南のほど宜しくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

＞相加平均・相乗平均を使わなくても、判別式を使っても良い。

a＞0、b＜0より、6Ｓ＝(a-b)＾3、6Ｔ＝-3ab(a-b)であるから、k＝Ｔ/Ｓとすると、分母を払って整理すると、k*a＾2－（2k-3）*ab＋kb＾2＝0　‥‥(1).
k≠0より、(1)はaの2次方程式から判別式≧0、つまり、（4k-3）*b＾2≦0.
b＾2＞0より、4k-3≦0.　この時、(1)よりa＋b＝0.
以上より、Ｔ/Ｓ≦3/4.　等号成立は、a＋b＝0。

（ＰＳ）質問者君へ

このサイトでは、君がどこまで考えたかを書き込まないと“宿題の丸投げ”とされ君の質問も私の回答も全て削除されることになる。
君のプロフィールを見ると、これが初めての質問だったようなので止む終えないとも思うが、次回から注意するように。

回答No.2

mister_moonlight

計算ミス。

（誤）以上から、Ｐ＝Ｔ/(3Ｓ)＝1/{t+1/t＋2}≦4　であるから、Ｔ/Ｓ≦12.

（正）以上から、Ｐ＝Ｔ/(3Ｓ)＝1/{t+1/t＋2}≦4　であるから、Ｔ/Ｓ≦3/4.

相加平均・相乗平均を使わなくても、判別式を使っても良い。

回答No.1

mister_moonlight

ＳとＴの面積くらいは、自分で出せるだろう。

計算過程は省略するが、-b＝mとすると、m＞0。
6Ｓ＝(a＋m)＾3、6Ｔ＝3am(a＋m)であるから、a/m＝t　(t＞0)と置くと、Ｐ＝Ｔ/(3Ｓ)＝{（m）＾3*t*（t＋1）}/（m）＾3*（t＋1）＾3＝t/(t＋1)＾2＝1/{t+1/t＋2}。
t＞0より、相加平均・相乗平均より、t+（1/t）＋2≧4.　等号は、t＝1の時。Ｐは分母が最小の時、最大になる。
以上から、Ｐ＝Ｔ/(3Ｓ)＝1/{t+1/t＋2}≦4　であるから、Ｔ/Ｓ≦12.

お礼

ご指摘どうもありがとうございます。
T/S を計算した結果、(a-b)が約分できて、-3ab/(ａーｂ）2乗
まで行った時、そこからどうやって最大値を求めてよいのか
行き詰ってしまいました。
以後気をつけます。本日はどうもありがとうございました。