等式{y∈V*;y(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}=Ker(A')の証明が滞ってしまいます

質問

[問]Vを有限次元F線形空間とし、A∈L(V)(={A;AはVからVの線形変換})

(1) {y∈V*;y(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}=Ker(A')
(2) {y∈V*;y(x)=0(∈F) (∀x∈Ker(A))}=ran(A')
を示せ。

『V*はVの双対空間を表してます。ran(A)は写像Aの値域を表してます。
A'はAの随伴写像を表しています。
※随伴写像とは∀(x,y)∈V×V*, y(Ax)=(Cy)(x)(∈F)の時のCの事でA'で表します』

という問題なのですがなかなか先に進めません。

(1)については
∀y∈{y∈V*;y(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}を採ると
y(ran(A))={0}でran(A)⊂Ker(y)
…
からどうすればいいのでしょうか?

(2)については
∀y∈{y∈V*;y(x)=0(∈F) (∀x∈Ker(A))},
y(Ker(A))={0}からKer(A)⊂Ker(y)
…
からどうすればいいのでしょうか?

回答No.2

noname#50894 · ベストアンサー

何とも書き込みの多い掲示板ですね。いつの間にか下の方に下がってしまいました。

>vとv*とも任意に選んだのならこのAに対してv*(A(v))=(Cv*)(v)なるCが存在しますが(∵随伴写像の定義)
>vは兎も角としてv*は"v*(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))"という条件を満たすv*なのですよね。
>V*の任意の元ではないのですよね。

随伴写像の定義が、
#線形写像C：V*→V*が線形写像A：V→Vの随伴写像であるとは、
#任意のv∈V,v*∈V*に対して、v*(A(v))=(Cv*)(v)が成立する事である。
ですね。

この問題では、Aに対するCは既に定義されています。
従って、
・適当なv∈V,v*∈V*に対して、v*(A(v))=(Cv*)(v)が成立する。
は、当然成立します。
証明すべき命題ではなく、利用出来る命題です。

■(2)はVが有限次元線形空間であるから
“線形写像A：V→Vに対して、Vはran(V)とker(V)の直和で表される”

という命題を使わないと証明出来ないようですね。
ご挑戦下さい。非力ながらお手伝い致します。

お礼

> この問題では、Aに対するCは既に定義されています。

納得です。
お蔭様で問題の主旨を把握できました。

回答No.1

noname#50894

証明が進むにつれ、読んでいる方も、x,yが何であるか、わからなくなってきます。
証明が途中で行き詰ってしまうのは、表記の仕方にありそうです。

例えば、
#(1) {v*∈V*｜v*(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}=Ker(A')
#(2) {v*∈V*｜v*(x)=0(∈F) (∀x∈Ker(A))}=ran(A')
#を示せ。

のように、
集合とその元の文字を、同一文字の全角と半角で使い分ける方が、
混乱が少なくて済みます。

＝(1)だけ証明します＝
∀v*∈{v*∈V*｜v*(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}とする。
for∀v∈V,A(v)∈ran(A)
従って、v*(A(v))=0
一方、随伴写像の定義からv*(A(v))=(Cv*)(v)

ここに、vは任意に選んであるから、Cv*=0(∈V*)
即ち、v*∈Ker(C)=Ker(A')

逆に、v*∈Ker(A')であれば、
Cv*=A'v*=0（∈V*)
従って、for∀v∈V;(A'v*)(v)=0

v*(A(v))=(Cv*)(v)=(A'v*)(v)=0
であり、
A(v)はran(A)全てに渡るから。
v*∈ {v*∈V*｜v*(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 証明が進むにつれ、読んでいる方も、x,yが何であるか、わからなくなってきます。
> 証明が途中で行き詰ってしまうのは、表記の仕方にありそうです。

大変申し訳有りません。

> 例えば、
> #(1) {v*∈V*｜v*(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}=Ker(A')
> #(2) {v*∈V*｜v*(x)=0(∈F) (∀x∈Ker(A))}=ran(A')
> #を示せ。
>
> のように、
> 集合とその元の文字を、同一文字の全角と半角で使い分ける方が、
> 混乱が少なくて済みます。
>
> ＝(1)だけ証明します＝
> ∀v*∈{v*∈V*｜v*(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))}とする。
> for∀v∈V,A(v)∈ran(A)
> 従って、v*(A(v))=0
> 一方、随伴写像の定義からv*(A(v))=(Cv*)(v)

ここが疑問です。
vとv*とも任意に選んだのならこのAに対してv*(A(v))=(Cv*)(v)なるCが存在しますが(∵随伴写像の定義)
vは兎も角としてv*は"v*(x)=0(∈F) (∀x∈ran(A))"という条件を満たすv*なのですよね。V*の任意の元ではないのですよね。
そうしますと随伴写像の定義からv*(A(v))=(Cv*)(v)なるCが採れるとは言えないのではないのでしょうか?