線形変換(随伴変換)に関する質問です

質問

「線形空間Ｖのひとつの基底E=<e[1],e[2],・・・e[n]>を選べば、
ＶからＫ^nへの同型写像ψが決まるから、この意味で、基底(E;ψ)と言うことにする。
Ｖをユニタリ空間、ＴをＶの線形変換とし、ある正規直交基底に関するＴの行列をＡとする。この基底に関して、
Ａの随伴行列Ａ^*によって表現されるＶの線形変換をＴの随伴変換と言い、Ｔ^*で表す。
Ｔ^*は、Ｖの任意の二元x,yに対して内積に関する等式
[T^*(x),y]=[x,T(y)]・・・※
が成立することで特徴づけられる。
実際、この基底を(E;ψ)とすれば
[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]より※が成立。」

という記述が教科書にあったのですが、
※の成立を示すのに
[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]を示している理由を

私は

[T^*(x),y]=[ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))]
今、ψ^(-1)は計量同型写像であるから
[ψ^(-1)(A^*(ψ(x)),ψ^(-1)(ψ(x))]=[A^*(ψ(x)),ψ(y)]
同様に
[x,T(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]なので
結局、※は[A^*(ψ(x)),ψ(y)]=[ψ(x),A(ψ(y))]に帰着される・・。

と考えたのですが、これであっていますか？
ψが計量同型写像だからそのい逆写像も計量同型写像であるので
[ψ^(-1)(a),ψ^(-1)(b)]=[a,b]である

というのを使っているのかな？と思ったのですが。
どなたか詳しい方、添削よろしくお願い致します。

※[,]は内積、ψ^(-1)はψの逆写像の意です。

回答No.1

KI401 · ベストアンサー

計量同型で内積が保存されることを使っているわけね。うん、パッと見問題ないと思う。
一部yであるべき所がxになってるが、まぁただの打ち間違いだろう。
論証の文章としては変な部分もあるけれど、まぁそれも根本的な間違いでは無し。

てか、単純にT=ψ^-1・A・ψだから、でいいと思うんだけど。
（記号・は写像の合成だ。顔文字じゃないぞ。Aを線形写像と同一視して略記しただけだ。）
つまり、※式を上の式使って書き下したらあなたの言うように内積を保存するから
はい、2つ目の式になりました。

お礼

回答ありがとうございました。
言われてみれば顔文字に見えますね・・笑