極限が存在しないことの証明

質問

a_n＞0としb_n＝√(a_1＋√(a_2＋√(…＋√a_n)))とおく。
このとき，あるc＞2があって，無数のnに対しa_n＞e^(c^n)ならlim[n→∞]b_nは存在しないことを示せ。

という問題が分かりません。
そもそも何を示せば良いのか明確でなく，手も足も出ないといった状況です。
ご教授お願いします。

回答No.6

koko_u_ · ベストアンサー

「全ての数列」に対する命題であることに注意するだけです。
明らかに自分で考えていないように見受けられます、追加で質問する場合は「考えてから」質問してね。

補足

考えているつもりだったのですが，考えが甘かったかもしれません。
申し訳ありませんでした。
ご叱咤の後，さらに考えをめぐらせてみると，以下のような回答にたどりつきました。
c＞2として，a_n＞e^(c^n)となるa_nの部分列を{a_n_i}とする。
このときb_n_i＞√…√a_n_i＞e^{(c/2)^(n_i)}
よってb_n_iは発散。
b_nは単調増加だから，b_nも発散する。
こちらの回答に問題点はありますか？

回答No.5

koko_u_

>の成立は分かるのですが，これをどう用いれば
> 　すべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失わない
> となるのでしょうか。

背理法

補足

ご返答ありがとうございます。
おそらくb_nの収束を仮定して矛盾を導くと思うのですが，どこで矛盾が出るのでしょうか。
また，b_nの収束からどうやって「すべてのnについて～」へと繋がっていくのか分かりません。

回答No.4

koko_u_

>> 初めからすべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失いません。
> とありますが，これは有限個のa_nを取り替えてもb_nの収束発散は不変だということを用いていると思います。

違います。
b_n が収束するなら、a_n の部分数列 a_{n_j} についての和も収束することを用いています。
これは単調増加で上に有界な数列は収束することから明らかです。

補足

たびたびすいません。
　b_n が収束⇒a_n の部分数列についての和も収束
の成立は分かるのですが，これをどう用いれば
　すべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失わない
となるのでしょうか。

回答No.3

chevcrow

あ，ごめんなさい。反例も無限個あるかも知れませんね。

回答No.2

koko_u_

>「無限個ある」ということは，途中からずっとそういうものが続くということです。
他人の回答にちょっかい出すと削除されそうだけど、違います。

「ずっと続く」のではなく、どんなに先にいっても a_n > e^(c^n) なる n を見出すことができる。ということです。
例えば、偶数の n についてのみ a_n > e^(c^n) が成立しているような状況を考えましょう。
この問題の場合は、b_n が収束すれば、無限個ある a_n についてだけの和を考えても収束するので、初めからすべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失いません。

補足

回答ありがとうございます。
だいぶ解答の全体像が見えてきました。
＞初めからすべての n について a_n > e^(c^n) と考えて一般性を失いません。
とありますが，これは有限個のa_nを取り替えてもb_nの収束発散は不変だということを用いていると思います。これはどのように示せば良いでしょうか。

回答No.1

chevcrow

まず，問題文を整理しましょう。
「無限個ある」ということは，途中からずっとそういうものが続くということです。つまり，
　　n>kならば，必ず(a_n)>e^(c^n)となっている
ようにkをとることができます。収束発散を考えるときは，最初のほうはどうでもいいので，k以降の(b_n)の動向を調べましょう。

列(b_n)は(a_n)の取り方によっては収束してしまいますが，
(a_n)がどんどん大きくなるものなら，発散させることができます。

だから，ルートをとってもb_nが文句なく大きくなっていく（発散する）ように，cを調節してみてください。

そうすれば，
「どんなc>2について，
a_n>e^(c^2)をみたすnが無限にあるのに，(b_n)の極限が存在する」
なんてことはない，
ということが証明できたことになりますから，
「c>2が存在して，a_n>e^(c^2)をみたすnが無限にあれば，(b_n)の極限は存在しない」
が証明できたことになります。

お礼

回答ありがとうございます。
命題の否定の部分で戸惑っていましたが理解できました。
ありがとうございました。